1. 概述
辐照会让钢的屈服强度升高、断裂韧性下降。一块含中心穿透裂纹的大钢板服役 20 年，评定点会在失效评定图（FAD）上怎样漂移？哪一年、哪一档工作应力最危险？安全系数怎么读？本文用 FITNET 基础培训包的算例回答这三个问题，评定按 BS 7910:2019 Clause 7 进行；BS 7910 Clause 7 断裂评定计算器 只是动手试一试的入口，用法见 《BS 7910 断裂评定简明教程》 。
算例：FITNET 基础培训包（FITNET Basic Training Package）的算例 Plate under neutronic irradiation（中子辐照下的钢板）。作者 F. Gutiérrez-Solana、S. Cicero、J. A. Álvarez、R. Lacalle（坎塔布里亚大学）。该培训包随 FITNET FFS Procedure（MK7，2006）发布。
两边用的方法：原文用 $K_I=\sigma\sqrt{\pi a}$ 和 $L_r=\sigma/\sigma_Y$。mechCalc 用 BS 7910 Annex M 穿透裂纹解和 Annex P 参考应力解。板宽取无限大时，两者化为同一公式，所以两边的差异只应来自原文的小数位数。
结论先看：
- 12 个评定点：原文给三位小数的点，差不超过 0.002；原文只给两位小数的点，差在 0.01 以内。差异全部来自原文取整。
- 最危险工况：第 20 年、350 MPa。
- 该点的安全系数：mechCalc 算得载荷储备因子 $F_{load}=1.19$，原文用射线法从图上读得 1.2。
2. 算例介绍
一块大尺寸钢板，含一条中心穿透裂纹，长 $2a=20$ mm。工作拉应力分四档：50、150、250、350 MPa。
钢板受中子辐照。材料随时间变化：屈服强度升高，断裂韧性下降。原文给出五个年份的材料数据：
| 辐照年份 | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|
| 屈服强度 $\sigma_Y$ [MPa] | 500 | 510 | 540 | 565 | 585 |
| 断裂韧性 $K_{Ic}$ [MPa·m$^{0.5}$] | 150 | 135 | 120 | 100 | 85 |
原文提三个问题：
- 在 FAD 上画出第 0、10、20 年的安全状态。
- 哪个工况最危险？
- 安全系数大于 1.2 的时间有多长？
原文解法很短。大板的应力强度因子取 $K_I=\sigma\sqrt{\pi a}$。裂纹半长 $a=0.01$ m，所以 $K_I=0.177\,\sigma$。断裂比 $K_r=K_I/K_{Ic}$，载荷比 $L_r=\sigma/\sigma_Y$。把 12 个点画在标准 FAD 上。安全系数用射线法：从原点 O 过评定点 A 画射线，交失效评定曲线于 B，$\mathrm{S.F.}=OB/OA$。
物理图景一句话：辐照让 $\sigma_Y$ 升高、$K_{Ic}$ 下降。$L_r$ 变小，$K_r$ 变大。评定点向左上方漂移，逼近曲线的脆断段。
3. 用 mechCalc 计算
3.1 输入数据
以最临界点（第 20 年、350 MPa）为例。
| 参数 | 值 | 说明 |
|---|---|---|
| 几何分组 / 缺陷类型 | 平板 / 穿透裂纹 | Annex M.3.1 / P.4.1 |
| 裂纹深度 $a$ | 10 mm | 穿透裂纹时 $a$ 是半长 |
| 壁厚 $B$ | 25 mm | 任取。穿透裂纹受纯拉，$B$ 不进公式 |
| 构件宽度 $W$ | 100000 mm | 模拟无限宽板 |
| 一次膜应力 $P_m$ | 350 MPa | 工作拉应力 |
| 一次弯曲应力 $P_b$ | 0 | 纯拉 |
| 二次载荷 | 无 | 例题无残余应力 |
| 屈服强度 $\sigma_Y$ | 585 MPa | 第 20 年 |
| 抗拉强度 $\sigma_U$ | 819 MPa | 原文未给，取 $1.4\sigma_Y$ |
| 弹性模量 $E$ | 210 GPa | 原文未给，取碳钢典型值 |
| 断裂韧性 $K_{mat}$ | 85 MPa·m$^{0.5}$ | 第 20 年的 $K_{Ic}$ |
| FAD 选项 | Option 1 | 标准曲线 |
| 塑性交互作用 $\rho$ 来源 | 零 | 无二次应力 |
两个原文没给的量，要说清楚：
- $E$ 只进入 FAL 的形状参数 $\mu=\min(0.001E/\sigma_Y,\,0.6)$。它不影响评定点坐标。$E$ 取 200 或 210 GPa，$f(L_r)$ 只差 0.0005。
- $\sigma_U$ 只影响 $L_r>1$ 的曲线段和截断值 $L_{r,\max}$。本例所有点 $L_r<0.71$，不受影响。
3.2 动手试一试：在计算器里怎么填
一键载入：在计算器中打开本例题 ，输入会自动填好；下面的步骤供核对或手动输入。
- 评定选项 (FAD)：FAD 选项保持 Option 1。
- 1. 裂纹/缺陷类型：几何分组选「平板」，缺陷类型选「穿透裂纹 (M.3.1 / P.4.1)」。裂纹深度填 10。
- 2. 构件几何：壁厚 25，构件宽度 100000。
- 3. 应力与多项式系数：一次膜应力 350，一次弯曲应力 0。「二次（残余/热）载荷」选「无（无二次应力）」。
- 5. 材料：屈服强度 585，抗拉强度 819，弹性模量 210。
- 6. 断裂韧性：断裂韧性填 85（计算器第一版的 $K_{mat}$ 只能直接输入）。
- 7. 分析类型与塑性交互作用：「塑性交互作用（$\rho$）来源」选「零（仅限无二次应力）」。计算器第一版只做起裂分析，这张卡不再显示分析类型。
- 点 执行计算。
图 1：评定选项与裂纹类型。验证例题下拉已载入本例；平板、穿透裂纹，裂纹深度 a=10 mm（穿透裂纹时 a 是半长，不填半长 c）。
图 2：构件几何与应力。W=100000 mm 模拟无限宽板；只填一次膜应力 350 MPa，二次（残余/热）载荷选「无」。
图 3：材料、断裂韧性与塑性交互作用。第 20 年的材料：σ_Y=585 MPa，K_mat=85 MPa·m^0.5；ρ 来源选「零」。
图 4：计算器「示意图」页给出的裂纹几何。中心穿透裂纹，全长 2a=20 mm。
3.3 计算步骤
计算器按 Clause 7 的顺序装配评定点。每一步都显示公式和代入值。
第一步：一次应力强度因子（BS 7910:2019, Annex M, Eq. M.1；平板穿透裂纹见 M.3.1）
$$K_I^P = (Y\sigma)\sqrt{\pi a}$$平板穿透裂纹：$M=1$，$M_m=1$，有限宽修正系数 $f_w=[\sec(\pi a/W)]^{0.5}$（Eq. M.8）。$W$ 极大时 $f_w=1$。所以
$$K_I^P = 350\times\sqrt{\pi\times 0.010} = 62.04\ \mathrm{MPa\cdot m^{0.5}}$$第二步：参考应力与载荷比（BS 7910:2019, Annex P, P.4.1, Eq. P.3；§7.3.7, Eq. 7.40）
$$\sigma_{ref}=\frac{P_b+\sqrt{P_b^2+9P_m^2}}{3\,(1-2a/W)}=\frac{3\times 350}{3\times(1-20/100000)}=350.07\ \mathrm{MPa}$$$$L_r=\frac{\sigma_{ref}}{\sigma_Y}=\frac{350.07}{585}=0.5984$$第三步：断裂比（§7.3.6, Eq. 7.39）
$$K_r=\frac{K_I^P+K_I^S}{K_{mat}}+\rho=\frac{62.036+0}{85}+0=0.7298$$第四步：失效评定曲线（§7.3.3, Eq. 7.26，$L_r\le 1$ 段）
$$f(L_r)=\left(1+\tfrac{1}{2}L_r^2\right)^{-1/2}\left[0.3+0.7\,e^{-\mu L_r^6}\right]$$$\mu=\min(0.001\times 210000/585,\ 0.6)=0.359$。代入 $L_r=0.5984$ 得 $f(L_r)=0.9104$。
第五步：判定、K_r 方向裕度与载荷储备因子
- $K_r=0.7298
- $L_r=0.5984
- 载荷储备因子 $F_{load}=1.186$：把一次载荷按同一倍数放大，直到评定点落到 FAL 上，这个倍数就是 $F_{load}$，计算器用数值求根解出。本例只有一次载荷，$K_r$ 与 $L_r$ 都与载荷成正比，载荷放大时评定点沿过原点的直线移动，所以 $F_{load}$ 与原文作图法的 $OB/OA$ 是同一个量。单一一次载荷的起裂分析可用这种作图法求载荷因子（BS 7910:2019+C1:2025, N.2.4.6, 图 N.3）。
- $K_r$ 方向裕度 $F_{Kr}=f(L_r)/K_r=1.247$：固定 $L_r$，沿纵轴量到 FAL 的比值。
- $L_r=0.5984
3.4 计算结果
图 5：第 20 年、350 MPa 的评定结果。判定可接受。评定点 (0.598, 0.730) 在失效评定曲线之内。点线竖线是 K_r 方向裕度 F_Kr=1.247；虚线从评定点连到一次载荷放大 F_load=1.186 倍后触及 FAL 的点。
图 6：评定点装配与中间量。K_I^P=62.04，σ_ref=350.07，f(L_r)=0.9104，K_r 方向裕度 F_Kr=1.247，载荷储备因子 F_load=1.186。
3.5 其余各评定点
其余点只改三个输入：$P_m$、$\sigma_Y$、$K_{mat}$。其它不动。20 个点（5 个年份 × 4 档应力）的结果汇总如下。原文只给第 0、10、20 年，第 5、15 年是 mechCalc 补算的。
| $\sigma$ [MPa] | 年份 | $K_I^P$ | $L_r$ | $K_r$ | $f(L_r)$ | $F_{load}$ | 判定 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 50 | 0 | 8.86 | 0.1000 | 0.0591 | 0.9975 | 10.08 | 可接受 |
| 50 | 5 | 8.86 | 0.0981 | 0.0656 | 0.9976 | 9.93 | 可接受 |
| 50 | 10 | 8.86 | 0.0926 | 0.0739 | 0.9979 | 9.82 | 可接受 |
| 50 | 15 | 8.86 | 0.0885 | 0.0886 | 0.9980 | 9.13 | 可接受 |
| 50 | 20 | 8.86 | 0.0855 | 0.1043 | 0.9982 | 8.30 | 可接受 |
| 150 | 0 | 26.59 | 0.3001 | 0.1772 | 0.9780 | 3.36 | 可接受 |
| 150 | 5 | 26.59 | 0.2942 | 0.1969 | 0.9789 | 3.31 | 可接受 |
| 150 | 10 | 26.59 | 0.2778 | 0.2216 | 0.9811 | 3.27 | 可接受 |
| 150 | 15 | 26.59 | 0.2655 | 0.2659 | 0.9827 | 3.04 | 可接受 |
| 150 | 20 | 26.59 | 0.2565 | 0.3128 | 0.9839 | 2.77 | 可接受 |
| 250 | 0 | 44.31 | 0.5001 | 0.2954 | 0.9385 | 2.02 | 可接受 |
| 250 | 5 | 44.31 | 0.4903 | 0.3282 | 0.9411 | 1.99 | 可接受 |
| 250 | 10 | 44.31 | 0.4631 | 0.3693 | 0.9478 | 1.96 | 可接受 |
| 250 | 15 | 44.31 | 0.4426 | 0.4431 | 0.9525 | 1.83 | 可接受 |
| 250 | 20 | 44.31 | 0.4274 | 0.5213 | 0.9558 | 1.66 | 可接受 |
| 350 | 0 | 62.04 | 0.7001 | 0.4136 | 0.8659 | 1.44 | 可接受 |
| 350 | 5 | 62.04 | 0.6864 | 0.4595 | 0.8731 | 1.42 | 可接受 |
| 350 | 10 | 62.04 | 0.6483 | 0.5170 | 0.8909 | 1.40 | 可接受 |
| 350 | 15 | 62.04 | 0.6196 | 0.6204 | 0.9026 | 1.30 | 可接受 |
| 350 | 20 | 62.04 | 0.5984 | 0.7298 | 0.9104 | 1.19 | 可接受 |
$K_I^P$ 单位 MPa·m$^{0.5}$。
把 20 个点画到一张 FAD 上，漂移趋势一目了然：
图 7：20 个评定点的漂移。四条轨迹对应四档应力，每条从第 0 年走到第 20 年。应力越高，轨迹离曲线越近。最临界点 A 在第 20 年、350 MPa；本例只有一次载荷，载荷放大时 A 沿过原点的直线移到 FAL 上的 B，OB/OA=1.19，与 F_load 相同。曲线用 mechCalc 的 FAL 函数绘制。
4. 算例结果与计算器结果对比
4.1 12 个评定点
| $\sigma$ [MPa] | 年份 | 原文 $K_r$ | mechCalc $K_r$ | 原文 $L_r$ | mechCalc $L_r$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 50 | 0 | 0.06 | 0.059 | 0.10 | 0.100 |
| 50 | 10 | 0.073 | 0.074 | 0.092 | 0.093 |
| 50 | 20 | 0.104 | 0.104 | 0.085 | 0.085 |
| 150 | 0 | 0.18 | 0.177 | 0.30 | 0.300 |
| 150 | 10 | 0.221 | 0.222 | 0.277 | 0.278 |
| 150 | 20 | 0.312 | 0.313 | 0.25 | 0.257 |
| 250 | 0 | 0.30 | 0.295 | 0.50 | 0.500 |
| 250 | 10 | 0.368 | 0.369 | 0.463 | 0.463 |
| 250 | 20 | 0.520 | 0.521 | 0.42 | 0.427 |
| 350 | 0 | 0.42 | 0.414 | 0.70 | 0.700 |
| 350 | 10 | 0.516 | 0.517 | 0.648 | 0.648 |
| 350 | 20 | 0.728 | 0.730 | 0.59 | 0.598 |
怎么读这张表：
- 原文给三位小数的点（第 10、20 年的 $K_r$，第 10 年的 $L_r$），两边差不超过 0.002。
- 原文只给两位小数的点（第 0 年全部，第 20 年的 $L_r$），差在 0.01 以内。第 20 年的 $L_r$ 原文是截尾（350/585=0.598 写成 0.59），不是四舍五入。
- 原文用 $K_I=0.177\sigma$。精确值是 $\sqrt{\pi\times 0.01}=0.1772$。350 MPa 时 $K_I$ 为 61.95 对 62.04，差 0.15%。
- 同一方法、同一公式，两边的差异只在原文的小数位数。
4.2 原文三个问题的对照
| 问题 | 原文答案 | mechCalc |
|---|---|---|
| 哪个工况最危险 | 第 20 年、350 MPa | 同。该点 $K_r$ 比 80.2%，为主导判据 |
| 第 20 年的安全系数 | $OB/OA=1.2$（图上读取） | $F_{load}=1.186$（数值求解） |
| 安全系数大于 1.2 的期限 | 前 20 年 | 第 15 年 1.30，第 20 年 1.19 |
最后一行值得多说一句。原文从图上读到 1.2，所以说前 20 年都大于 1.2。mechCalc 用数值求根求出载荷储备因子，得到 1.19。两者相差 1%，在图读精度之内。如果工程上严格要求大于 1.2，临界期在第 15 年到第 20 年之间。这个细节靠手工作图很难看出来。
4.3 本算例覆盖什么、没覆盖什么
- 覆盖：12 个评定点、最危险工况、安全系数（原文的射线法 $OB/OA$，即 mechCalc 的载荷储备因子 $F_{load}$）。$K_I$、$\sigma_{ref}$、FAL 装配全部与原文同口径。
- 需要自己补的：$E$ 和 $\sigma_U$。原文没给。前面已说明它们不影响本例的评定点，对 $F_{load}$ 的影响在 0.001 量级。
- 边界：原文只有一次应力。二次应力、塑性交互修正 $\rho$ 在本例中都是零，本例没有涉及。这两项见 《BS 7910 FAD评定：从一个FITNET案例看残余应力的影响》 。
🧮 在线计算器：《BS 7910 Clause 7 断裂评定计算器》 — 动手试一试：平板穿透裂纹，a=10、W=100000、P_m=350、σ_Y=585、K_mat=85，即可得到 L_r=0.598、K_r=0.730、F_load=1.19。
本计算器的验证手册：BS 7910 断裂评定计算器的验证手册