在 A533B 焊接平板四道题 的 FAD 评定里，焊态件那一项残余应力强度因子 $K_I^S \approx 46\ \mathrm{MPa\cdot m^{0.5}}$ 一直是直接输入的——它由 FITNET 原文把实测残余应力廓线积分得到，我们只是把这个现成数喂进纵坐标 $K_r$。

一个自然的追问：这个 46 到底是怎么从一条残余应力曲线变出来的？能不能用 Annex M 自己算出来？

能。这正是 BS 7910 Annex M.4.2（平板有限表面多项式裂纹） 解干的活：给定一条沿壁厚分布的应力多项式 $\sigma(x)$，把它对裂纹前缘做权函数积分，得到该裂纹的应力强度因子。本文就用 mechCalc 的 Annex M 计算器单独跑这一步，把焊态残余廓线积分成最深点 SIF，再和 FITNET 的 46 对一对——这是一次纯粹的应力强度因子单点计算，与 FAD 评定无关。

原理：多项式应力廓线 → SIF

被评定对象是焊缝区的半椭圆表面裂纹（深度 $a$、表面半长 $c$）。二次应力（焊接残余）沿壁厚不是常数，而是一条曲线，BS 7910 用一个不超过五次的多项式来描述它（坐标 $x$ 从开裂表面起算、以壁厚 $B$ 归一）：

$$ \sigma(x) = \sum_{n=0}^{5} \sigma_n \left(\frac{x}{B}\right)^n $$

最深点 $K_I$ 按 Annex M.4.2.2 的 Eq. M.13 装配——每一阶应力分量配一个 Fett 几何函数 $f_i^d$（查 Table M.1，按 $a/B$ 与 $a/2c$ 双线性插值），求和后乘 $\sqrt{\pi a}$：

$$ K_I = \sqrt{\pi a}\,\sum_{i=0}^{5} \sigma_i \left(\frac{a}{B}\right)^{i} f_i^{\,d}\!\left(\frac{a}{B},\ \frac{a}{2c}\right) $$

来源：BS 7910:2019, Annex M.4.2.2, Eq. M.13, Table M.1（最深点）/ Table M.2（表面点）；几何函数取自 Fett & Munz (1997) [M.10]、Fett, Munz & Neumann (1990) [M.11]。

关键一点：这套解的多项式约定就是 $\sigma_n(x/B)^n$（以壁厚归一、$x$ 从开裂面起算）。A533B 实测残余廓线本就以 $x/t$（且 $t=B$）给出，因此系数可逐项直接对应，不需要任何换元。

输入：A533B 焊态残余廓线

总览文 §2.2 给出的焊态（LLAW / HLAW）实测残余应力廓线（横向于焊缝，$x/t \le 0.5$ 段，正好覆盖 $a/t=0.273$）：

$$ \sigma^*(x/t) = -108.35 + 3543.6\,(x/t) - 9871.5\,(x/t)^2 + 2930.3\,(x/t)^3 \quad [\mathrm{MPa}] $$

逐项映射到 Annex M.4.2 的多项式系数，并取焊态件 LLAW 的裂纹与板几何：

参数 值 说明
裂纹深度 $a$ 19.4 mm LLAW 焊态预制裂纹深度
裂纹表面半长 $c$ 87.5 mm 全长 $2c = 175$ mm
板厚 $B = t$ 71 mm $a/B = 0.273$，在 Fett 表网格内
截面宽 $W$ 600 mm 有限宽修正
$\sigma_0$ −108.35 MPa 表层（$x=0$）残余应力，受压
$\sigma_1$ 3543.6 MPa 一阶项
$\sigma_2$ −9871.5 MPa 二阶项
$\sigma_3$ 2930.3 MPa 三阶项
$\sigma_4,\ \sigma_5$ 0 廓线为三次多项式

动手试一试：在计算器里怎么填

一键载入：在计算器中打开本例题 ，输入会自动填好；也可以在计算器顶部的「验证例题」下拉里选「FITNET A533B 残余应力廓线 — 由 Annex M.4.2 算 K_I^S」。下面的步骤供核对或手动输入。

打开 mechCalc 的 BS 7910 Annex M 应力强度因子计算器 ，按三张卡设定：

  1. 1. 裂纹类型与缺陷几何：「1. 几何分组」选「平板」，「2. 缺陷类型」选「M.4.2 · 有限长表面裂纹（多项式应力）[Fett]」——这就是多项式应力廓线下的有限长表面裂纹解；裂纹深度/半长 $a$ 填 19.4、裂纹表面半长 $c$ 填 87.5。
  2. 2. 构件几何：壁厚/板厚 71、截面总宽度 600。
  3. 3. 应力与多项式系数：多项式 $\sigma_0..\sigma_3$ 按上表填入（$\sigma_4=\sigma_5=0$）。

在 Annex M 计算器里选「M.4.2 · 有限长表面裂纹（多项式应力）[Fett]」并填入 A533B 焊态残余应力多项式（中文界面）。右侧「示意图」页的「缺陷剖面比例几何图」按真实比例画出裂纹：W=600 mm 宽板上一条深 a=19.4 mm、全长 2c=175 mm 的半椭圆表面裂纹（红色），标出最深点 D 与表面点 S 图1：在 Annex M 计算器里选「M.4.2 · 有限长表面裂纹（多项式应力）[Fett]」并填入 A533B 焊态残余应力多项式（中文界面）。右侧「示意图」页的「缺陷剖面比例几何图」按真实比例画出裂纹：W=600 mm 宽板上一条深 a=19.4 mm、全长 2c=175 mm 的半椭圆表面裂纹（红色），标出最深点 D 与表面点 S。

计算器右侧还按比例实时画出这条残余应力沿壁厚的分布曲线——这正是被积分的对象：

「沿壁厚的应力分布 (SCL)」图（中文界面）：残余应力沿壁厚的分布（橙线，多项式 σ₀~σ₅）。表层（x=0）为压应力 −108 MPa，随深度迅速转为拉应力并在壁厚中段达到峰值；红色竖虚线标出裂纹前缘 a=19.4 mm 的位置。蓝色虚线为线性化等效（膜+弯）。最深点 K_I 就是把这条曲线在 [0, a] 段对裂纹前缘做权函数积分的结果 图2：「沿壁厚的应力分布 (SCL)」图（中文界面）：残余应力沿壁厚的分布（橙线，多项式 σ₀~σ₅）。表层（x=0）为压应力 −108 MPa，随深度迅速转为拉应力并在壁厚中段达到峰值；红色竖虚线标出裂纹前缘 a=19.4 mm 的位置。蓝色虚线为线性化等效（膜+弯）。最深点 K_I 就是把这条曲线在 [0, a] 段对裂纹前缘做权函数积分的结果。

计算结果

点 执行计算，得到两个裂纹前缘点的 SIF：

Annex M.4.2 计算结果（中文界面）。最深点 D：K_I = 44.843 MPa·m^0.5（几何函数 f₀ᵈ=1.1429）；表面点 S：K_I ≈ −0.028 ≈ 0。下方给出中间量 a/B=0.2732、a/c=0.2217、2c/a=9.0206，并标注 BS 7910 Annex M.4.2.2 Table M.1/M.2 出处 图3：Annex M.4.2 计算结果（中文界面）。最深点 D：K_I = 44.843 MPa·m^0.5（几何函数 f₀ᵈ=1.1429）；表面点 S：K_I ≈ −0.028 ≈ 0。下方给出中间量 a/B=0.2732、a/c=0.2217、2c/a=9.0206，并标注 BS 7910 Annex M.4.2.2 Table M.1/M.2 出处。

裂纹前缘点 $K_I$ [MPa·m$^{0.5}$] 说明
最深点 D 44.843 进入 FAD 最深点评定点的残余 $K_I^S$
表面点 S −0.028（≈ 0） 近表层受压，净贡献几乎为零；进 FAD 表面点评定点时取 0

为什么表面点几乎为零？ 表面点的几何函数权重集中在近表层，而那里残余应力是压应力（$x=0$ 处 −108 MPa）；压应力对张开型 SIF 的贡献为负，恰好与浅层那点拉应力抵消，净 $K_I \approx 0$。最深点则看到的是壁厚中段那一大片拉应力，于是积出 44.8 MPa·m$^{0.5}$。

两个值都进 FAD：断裂评定计算器对半椭圆表面裂纹在最深点与表面点各评一个点，任一点不可接受即不可接受（类推 BS 7910:2019+C1:2025 B.5.6），直接输入 $K_I^S$ 时也分最深点、表面点两栏。最深点填 46（四道题沿用 FITNET 的值，见下节）；表面点的积分值为负，而 $K_I^S<0$ 时 $K_I^S$ 与 $\rho$ 一并取 0（BS 7910:2019, §7.3.6），所以表面点填 0。

白盒：Eq. M.13 逐项展开

计算器的 Whitebox 步骤把最深点的求和过程完全摊开（$a=0.0194$ m）：

$$ K_I = \sqrt{\pi a}\,\big[\underbrace{-108.35{\times}1.0000{\times}1.1429}_{\sigma_0\text{ 项}} + \underbrace{3543.6{\times}0.2732{\times}0.6585}_{\sigma_1\text{ 项}} + \underbrace{-9871.5{\times}0.0747{\times}0.4820}_{\sigma_2\text{ 项}} + \underbrace{2930.3{\times}0.0204{\times}0.3873}_{\sigma_3\text{ 项}}\big] = 44.84 $$

其中 Fett 几何函数（Table M.1，最深点）经 $a/B=0.273$、$2c/a=9.02$ 双线性插值得 $f_0^d{=}1.1429,\ f_1^d{=}0.6585,\ f_2^d{=}0.4820,\ f_3^d{=}0.3873$。每一步都可追溯到规范表格，无黑箱。

与 FITNET 数值对照

把上面算出的残余 $K_I^S$ 与 FITNET 原文报告的值并列：

量 mechCalc（Annex M.4.2） FITNET 原文 差异
最深点残余 $K_I^S$ [MPa·m$^{0.5}$] 44.84 ≈ 46 −2.5%

差 2.5%——对两种不同的解之间的比较而言，这是相当好的吻合。mechCalc 走 BS 7910 Annex M.4.2 的 Fett 列表几何函数；FITNET 用文献 [13.6]（Sharples & Clayton）给出的分布载荷下平板半椭圆表面裂纹的解（FITNET FFS Procedure MK7 (2006), Vol. II §13.2.5, Table 13.9 step 9）。算同一个物理量、用不同的解，差几个百分点属正常，mechCalc 一侧略偏小。

这件事的意义在于：四道题 FAD 评定里直接输入的最深点 $K_I^S=46$，可以用 Annex M.4.2 从原始残余应力廓线算出来，与 FITNET 的值相差 −2.5%。所以手里有自己的实测廓线时，不必依赖文献给值，可以自己积分。

说明：本文的 −2.5% 是同一物理量、两种不同的解之间的正常差异。四道题的 FAD 评定为让两边的残余项同源，仍统一采用 FITNET 的 $K_I^S$ 直输值。

算例出处：FITNET 项目 Case Studies for Fracture 之「A533B-1 Steel Residual Stress Experiments」（FITNET FFS Procedure MK7 (2006), Vol. II §13.2.5）；试验原始报告 C C France、J K Sharples、C Wignall，AEA Technology Report AEAT-4236（SINTAP/TASK4/AEAT18, 1998）。SIF 解依据 BS 7910:2019+C1:2025, Annex M.4.2.2（Eq. M.13, Table M.1/M.2）。

🧮 在线计算器：《BS 7910 Annex M 应力强度因子计算器》 — 动手试一试：几何分组选「平板」、缺陷类型选「M.4.2 · 有限长表面裂纹（多项式应力）[Fett]」，填 a=19.4、c=87.5、B=71、W=600，多项式 σ₀=−108.35、σ₁=3543.6、σ₂=−9871.5、σ₃=2930.3，即得最深点 K_I=44.84 MPa·m^0.5。

本计算器的验证手册：BS 7910 断裂评定计算器的验证手册