出处：Verein Deutscher Ingenieure. (2015). VDI 2230 Blatt 1 / Part 1: Systematische Berechnung hochbeanspruchter Schraubenverbindungen – Zylindrische Einschraubenverbindungen（Ausg. deutsch/englisch, 2015-11）. Düsseldorf: VDI; Berlin: Beuth. Anhang B, Beispiel B1 Berechnung einer Schraubenverbindung zwischen Kolben und Kolbenstange in einem Hydraulikzylinder als Beispiel für zentrische Verspannung und zentrische Belastung（液压缸活塞与活塞杆的螺栓连接：中心夹紧与中心受载算例），第 130–136 页，Bild B1

计算器：VDI 2230-1 单螺栓连接计算 ，一键载入本题输入，点「执行计算」即可复算。

题目

一台压力机（每小时 300 个工作行程）的液压缸里，活塞用一颗 M12×60、10.9 级内六角圆柱头螺钉固定在活塞杆端部：螺钉穿过活塞（16MnCr5），拧入活塞杆（C45）的螺纹孔（螺纹孔连接），夹紧长度 $l_K = 42$ mm。缸压最高 $p_{\max} = 5.5$ N/mm²，作用在外径 80 mm、内径 25 mm 的环面上，轴向工作载荷在 0 与 $F_{A\max} = 24.9$ kN 之间脉动。螺钉兼起密封作用，残余夹紧力不得低于 1000 N。用指示式扭矩扳手拧紧（第 130–131 页）。

液压缸活塞与活塞杆之间的中心螺栓连接 液压缸活塞与活塞杆之间的中心螺栓连接（来源：VDI 2230 Blatt 1:2015, Bild B1, 第 130 页）

输入参数

本题的几何输入 本题的几何输入（据 mechCalc 计算器载入本题绘制）

名称 符号 取值
被夹件分层 1，弹性模量 $E_{P}$ 205000 N/mm²
被夹件分层 1，材料 — 16MnCr5
被夹件分层 1，极限支承面压强 $p_{G}$ 1300 N/mm²
内螺纹件抗拉强度 $R_{mM}$ 700 N/mm²
强度等级 — 10.9
屈服强度 $R_{p0{,}2}$ 940 N/mm²
抗拉强度 $R_m$ 1040 N/mm²
弹性模量 $E_S$ 205000 N/mm²
螺栓规格 $d$ M12
被夹件分层 1，厚度 $h$ 42 mm
分界面等效外径 $D_A$ 25 mm
基本体等效外径（可选） $D_A'$ 80 mm
通孔直径 $d_h$ 13.5 mm
夹紧光杆段长 $l_1$ 24 mm
实际可用旋合深度（可选） $m_{eff,vorh}$ 14.5 mm
支承面边缘到力引入点距离（可选） $a_k$ 3.89 mm
基本体到力引入点长度（可选） $l_A$ 0 mm
轴向载荷 $F_A$ 24900 N
横向载荷 $F_Q$ 0 N
载荷导入系数 $n$ 0.35
所需残余夹紧力 $F_{KR,req}$ 1000 N
最小轴向载荷 $F_{A,min}$ 0 N
计算模式 — 校核模式（指定规格）
连接类型 — TTJ — 螺纹孔连接
螺栓头型 — 内六角圆柱头（ISO 4762）
被夹件柔度按通孔连接（TBJ）近似 — 是（工程判断，同算例 B1）
力引入连接类型（可选） — SV 4
螺纹摩擦系数 $\mu_{G,min}$ 0.1
头部摩擦系数 $\mu_{K,min}$ 0.1
分界面摩擦系数 † $\mu_{T,min}$ 0.1
滑移分界面数 † $q_F$ 1
拧紧系数 $\alpha_A$ 1.8
利用率 $\nu$ 0.9
嵌入量取法 — 按 Tabelle 5 累加
表面粗糙度 $R_z$ 10 ≤ Rz < 40 μm
载荷方向（Tabelle 5） — 拉 / 压
内分界面数 — 1
考虑温度影响 — 否
疲劳校核 — 是
螺纹加工工艺 — SV（滚压后调质）

† 原文未给：分界面摩擦系数 $\mu_{T,min} = 0.1$ 与滑移分界面数 $q_F = 1$ 取计算器默认值。本题横向载荷 $F_Q = 0$（第 131 页 R0），这两项只进防滑移所需的夹紧力，不影响任何对照量与判定。

计算过程

预紧力（R1–R6）

步骤 5　R3a：螺栓轴向柔度 $\delta_S$ · VDI 2230 Blatt 1:2015, §5.1.1.1, Gl.(19)

$$\delta_S = \delta_{SK} + \delta_1 + \delta_{Gew} + \delta_{GM}$$

代入：$\delta_S = 2.9484 \times 10^{-6}\,\text{mm/N}$（$l_1 = 24.0\,\text{mm}$，$l_{Gew} = 18.0\,\text{mm}$，头型：内六角圆柱头）

$\delta_M$ 取 $E_M = 205000\,\text{N/mm}^2$（未给 $E_{BI}$，故取被连接件的弹性模量）

◆ 对照量 螺栓柔度 $\delta_S$ = $2.94842\times10^{-6}$ mm/N，例题值 $2.95\times10^{-6}$，误差 -0.05 %（见「结果比对」[1]）

步骤 7　R3b：被连接件柔度 $\delta_P$ · VDI 2230 Blatt 1:2015, §5.1.2.1, Gl.(40); Anhang B, Beispiel B1, R3

$$\delta_P=\frac{2\ln\left[\frac{(d_W+d_h)(d_W+w l_K\tan\varphi-d_h)}{(d_W-d_h)(d_W+w l_K\tan\varphi+d_h)}\right]}{w E_P\pi d_h\tan\varphi}$$

代入：分支 ② 仅锥体（$D_A \geq D_{A,Gr}$）

按通孔连接（TBJ）计算（见 R3b-0）：$w = 1$，式 (43)

$d_{Wm} = (d_W + D_A)/2 = (17.23 + 25)/2 = 21.12\,\text{mm}$

$d_h = 13.5$, $D_A' = 80$（虚拟分界面，代替 $D_A$）

$\delta_S$ 与 $\delta_{PZu}$ 仍按螺纹孔连接

$\tan\varphi = 0.5656$, $D_{A,Gr} = 44.87$ (mm) → $\delta_P = 3.6327 \times 10^{-7}\,\text{mm/N}$

◆ 对照量 被连接件柔度 $\delta_P$ = $3.63269\times10^{-7}$ mm/N，例题值 $3.63\times10^{-7}$，误差 +0.07 %（见「结果比对」[1]）

步骤 9　R3d：载荷系数 $\Phi_n$ · VDI 2230 Blatt 1:2015, R3/3, Gl.(82)

$$\Phi_n = n \cdot \frac{\delta_P + \delta_{PZu}}{\delta_S + \delta_P}$$

代入：$\delta_{PZu} = (w-1)\,\delta_M = 1.7080 \times 10^{-7}\,\text{mm/N}$（螺纹孔连接（TTJ），$w = 2$，尽管 $\delta_P$ 按通孔连接（TBJ）近似计算）

$\Phi_n = 0.35 \cdot (3.6327 \times 10^{-7} + 1.7080 \times 10^{-7}) / (2.9484 \times 10^{-6} + 3.6327 \times 10^{-7}) = 0.0564$

◆ 对照量 载荷系数（力比）$\Phi$ = 0.0564，例题值 0.056，误差 +0.71 %（见「结果比对」[1]）

步骤 10　R4：预紧力变化 · VDI 2230-1:2015, §5.4.2.1, Tabelle 5

$$f_Z = \frac{f_{Z,thread} + n_{bearing} f_{Z,bearing} + n_{inner} f_{Z,inner}}{1000}$$$$F_Z = \frac{f_Z}{\delta_S + \delta_P}$$

代入：表 5，$10 \leq R_z < 40\,\mu\text{m}$，拉压：螺纹 3 μm

支承面 1 × 3 μm

内分界面 1 × 2 μm

合计 8 μm = 0.008 mm

$F_Z = 0.008 / 3.3117 \times 10^{-6} = 2416\,\text{N}$

表 5 仅适用于无涂层的实心钢制零件

铝制零件的嵌入量更大（例如螺纹孔连接的螺纹处取 10 μm 而非 5 μm）（VDI 2230-1 §5.4.2.1）

超过表 A9 的极限支承面压强 $p_G$ 后，表 5 的数值不再有效

对于多层薄板叠层，应通过试验测定 $F_Z$（VDI 2230-1 §5.4.2.1）

◆ 对照量 嵌入导致的预紧力损失 $F_Z$ = 2416 N，例题值 2415，误差 +0.04 %（见「结果比对」[1]）

◆ 对照量 嵌入量 $f_Z$ = 8 μm，例题值 8，误差 0.00 %（见「结果比对」[1]）

步骤 11　R5：最小装配预紧力 $F_{M\min}$ · VDI 2230, R5/1

$$F_{M\min} = F_{Kerf} + (1-\Phi)\cdot F_A + F_Z + \Delta F'_{Vth}$$

代入：$F_{M\min} = 1000 + (1-0.0564) \cdot 24900 + 2416 + 0 = 26910\,\text{N}$

◆ 对照量 最小装配预紧力 $F_{M\min}$ = 26910 N，例题值 26921，误差 -0.04 %（见「结果比对」[1]）

步骤 12　R6：最大装配预紧力 $F_{M\max}$ · VDI 2230, R6/1

$$F_{M\max} = \alpha_A \cdot F_{M\min}$$

代入：$F_{M\max} = 1.80 \cdot 26910 = 48438\,\text{N}$

◆ 对照量 最大装配预紧力 $F_{Mmax}$ = 48438 N，例题值 48458，误差 -0.04 %（见「结果比对」[1]）

校核（R7–R13）

步骤 13　R7：许用装配预紧力 $F_{Mzul}$ · VDI 2230, R7/2

$$F_{Mzul} = A_0 \cdot \frac{\nu \cdot R_{p0{,}2}}{\sqrt{1+3\left[\frac{3}{2}\frac{d_2}{d_0}\left(\frac{P}{\pi d_2}+1.155\mu_{G\min}\right)\right]^2}}$$

代入：$A_0 = 84.3\,\text{mm}^2$, $\nu = 0.9$, $R_{p0,2} = 940.0\,\text{N/mm}^2$ → $F_{Mzul} = 64900\,\text{N}$

◆ 对照量 许用装配预紧力 $F_{Mzul}$ = 64900 N，例题值 64800，误差 +0.15 %（见「结果比对」）

步骤 17　R8：工作应力校核 · VDI 2230, R8/1~R8/5 ✔

$$\sigma_{red,B} = \sqrt{\sigma_{z,\max}^2 + 3(k_\tau \cdot \tau_{\max})^2}$$

代入：$F_{S\max} = 66306\,\text{N}$, $\sigma_z = 786.9$, $\tau = 269.4$, $\sigma_{red,B} = 820.7$ (N/mm²)

$S_F = 940.0/820.7 = 1.15 \geq 1.0$ → ✅

◆ 对照量 最大螺栓力 $F_{S\max}$ = 66306 N，例题值 66194，误差 +0.17 %（见「结果比对」）

◆ 对照量 工作状态等效应力 $\sigma_{red,B}$ = 820.7 N/mm²，例题值 819，误差 +0.21 %（见「结果比对」）

◆ 对照量 静强度安全系数 $S_F$ = 1.15，例题值 1.15，误差 0.00 %（见「结果比对」）

◆ 对照量 静强度校核：$S_F$ 达到所需值（R8） = 是，例题值 是，误差 一致（见「结果比对」[2]）

步骤 18　R9：疲劳强度校核 · VDI 2230, R9/1~R9/5 ✔

$$S_D = \frac{\sigma_{AS}}{\sigma_a} \geq 1.0$$

代入：$\sigma_a = 8.34$, $\sigma_{AS} = 48.88$ (N/mm²)

$S_D = 5.86 \geq 1.2$ → ✅

所需 $S_D \ge 1.2$（推荐值 1.2，见 R9/4 的 [4]；安全系数由使用者设定）

◆ 对照量 交变应力幅 $\sigma_a$ = 8.34 N/mm²，例题值 8.3，误差 +0.48 %（见「结果比对」[1]）

◆ 对照量 疲劳极限 $\sigma_{AS}$ = 48.88 N/mm²，例题值 48.9，误差 -0.04 %（见「结果比对」[1]）

◆ 对照量 疲劳校核：$S_D$ 达到所需值（R9） = 是，例题值 是，误差 一致（见「结果比对」）

步骤 19　R10：支承面压强校核（装配状态与工作状态） · VDI 2230, R10/1 (Gl.190), R10/2 (Gl.191), R10/4; Gl.129/193/194; §5.5.4 ✔

$$A_{p\min} = \tfrac{\pi}{4}(d_{Wa}^2 - D_{Ki}^2)$$$$p_{M\max} = \frac{F_{Mzul}}{A_{p\min}}$$$$p_{B\max} = \frac{F_{V\max} + F_{SA\max} - \Delta F_{Vth}}{A_{p\min}} \le p_G$$

代入：$D_{Ki} = 13.50\,\text{mm}$（回退取 $d_h$），$d_{Wa} = 17.23\,\text{mm}$, $A_{p\min} = \tfrac{\pi}{4}(17.23^2 - 13.50^2) = 90.0\,\text{mm}^2$

$p_{M\max} = 720.9\,\text{N/mm}^2$（R10/1（式 (190)））

$p_{B\max} = (64900 + 1405 - 0)/90.0 = 736.5\,\text{N/mm}^2$

头侧 $p_G = 1300\,\text{N/mm}^2$（输入）：$S_p = 1.80$, $S_{pB} = 1.77$

◆ 对照量 最小支承面积 $A_{p\min}$（头侧） = 90 mm²，例题值 90，误差 0.00 %（见「结果比对」[1]）

◆ 对照量 头下极限支承面压强 $p_G$ = 1300 N/mm²，例题值 1300，误差 0.00 %（见「结果比对」[1]）

◆ 对照量 装配态支承面压强 $p_{M\max}$（头侧） = 720.9 N/mm²，例题值 720，误差 +0.12 %（见「结果比对」）

◆ 对照量 装配态支承面压强安全系数 $S_P$ = 1.8，例题值 1.8，误差 0.00 %（见「结果比对」）

步骤 20　R11a：强度比 $R_S$ 与临界螺纹 · VDI 2230 Blatt 1:2015, §5.5.5, Gl.(199)

$$R_S=\frac{d[P/2+(d-D_2)\tan30°]}{D_1[P/2+(d_2-D_1)\tan30°]}\cdot\frac{R_{mM}}{R_{mS}}$$

代入：$R_S = 0.9327$ → 内螺纹临界（§5.5.5.1）

未给 $s_M$，假定 $s/d > 1.9$（VDI 2230 Blatt 1:2015，§5.5.5.1）

$C_3 = 0.9102$（式 (202)）

◆ 对照量 强度比 $R_S$ = 0.9327，例题值 0.93，误差 +0.29 %（见「结果比对」[1]）

步骤 21　R11：旋合深度校核（螺纹孔连接） · VDI 2230, R11/1, Bild 36 ✔

$$m_{eff,vorh} \geq m_{eff,\min}$$

代入：$m_{eff,\min} \approx 1.0 \cdot d = 1.0 \cdot 12 = 12.0\,\text{mm}$——所需旋合深度取决于内螺纹件材料的抗剪强度（VDI 2230 Blatt 1:2015，§5.5.5.1，图 36）。解析校核（式 (210)/(213)）需要 $R_{mM}$ 和螺纹公差极限，它们均未给出

$m_{eff,vorh} = 14.5\,\text{mm}$ → 足够

◆ 对照量 旋合深度校核：实有旋合深度 $m_{eff,vorh}$ 达到所需值（R11） = 是，例题值 是，误差 一致（见「结果比对」[2]）

步骤 22　R13：拧紧力矩 $M_A$ · VDI 2230, R13/1 (Gl.127), Gl.128/129

$$D_{Km} = \frac{d_W + D_{Ki}}{2}$$$$M_A = F_{Mzul}\left[0.16P + 0.58 d_2 \mu_{G\min} + \frac{D_{Km}}{2}\mu_{K\min}\right]$$

代入：$D_{Km} = (17.23 + 13.50)/2 = 15.37\,\text{mm}$（$D_{Ki}$ 回退取 $d_h$）

$M_A = 64900 \cdot [0.16 \cdot 1.75 + 0.58 \cdot 10.863 \cdot 0.1 + 15.37/2 \cdot 0.1] = 108923\,\text{N}\cdot\text{mm} = 108.9\,\text{N}\cdot\text{m}$

◆ 对照量 拧紧力矩 $M_A$ = 108923 N·mm，例题值 108000，误差 +0.85 %（见「结果比对」）

结果比对

结果（单位） 例题值 MechCalc 误差 (%)
螺栓柔度 $\delta_S$（mm/N）（步骤 5） $2.95\times10^{-6}$ $2.94842\times10^{-6}$ -0.05 [1]
被连接件柔度 $\delta_P$（mm/N）（步骤 7） $3.63\times10^{-7}$ $3.63269\times10^{-7}$ +0.07 [1]
载荷系数（力比）$\Phi$（步骤 9） 0.056 0.0564 +0.71 [1]
嵌入导致的预紧力损失 $F_Z$（N）（步骤 10） 2415 2416 +0.04 [1]
最小装配预紧力 $F_{M\min}$（N）（步骤 11） 26921 26910 -0.04 [1]
最大装配预紧力 $F_{Mmax}$（N）（步骤 12） 48458 48438 -0.04 [1]
交变应力幅 $\sigma_a$（N/mm²）（步骤 18） 8.3 8.34 +0.48 [1]
疲劳极限 $\sigma_{AS}$（N/mm²）（步骤 18） 48.9 48.88 -0.04 [1]
最小支承面积 $A_{p\min}$（头侧）（mm²）（步骤 19） 90 90 0.00 [1]
头下极限支承面压强 $p_G$（N/mm²）（步骤 19） 1300 1300 0.00 [1]
强度比 $R_S$（步骤 20） 0.93 0.9327 +0.29 [1]
嵌入量 $f_Z$（μm）（步骤 10） 8 8 0.00 [1]
许用装配预紧力 $F_{Mzul}$（N）（步骤 13） 64800 64900 +0.15
最大螺栓力 $F_{S\max}$（N）（步骤 17） 66194 66306 +0.17
工作状态等效应力 $\sigma_{red,B}$（N/mm²）（步骤 17） 819 820.7 +0.21
静强度安全系数 $S_F$（步骤 17） 1.15 1.15 0.00
装配态支承面压强 $p_{M\max}$（头侧）（N/mm²）（步骤 19） 720 720.9 +0.12
装配态支承面压强安全系数 $S_P$（步骤 19） 1.8 1.8 0.00
拧紧力矩 $M_A$（N·mm）（步骤 22） 108000 108923 +0.85
疲劳校核：$S_D$ 达到所需值（R9）（步骤 18） 是 是 一致
静强度校核：$S_F$ 达到所需值（R8）（步骤 17） 是 是 一致 [2]
旋合深度校核：实有旋合深度 $m_{eff,vorh}$ 达到所需值（R11）（步骤 21） 是 是 一致 [2]
  • [1] 原文第 133 页 R3 把 $\delta_{PZu} = (w-1)\cdot\delta_M = 0.171\cdot10^{-6}$ 的符号印成 $d_{PZu}$、单位印成 N/mm（应为 mm/N），并写载荷导入系数 $n$ 按「Bild 2 und Tabelle 22」求，随后实际用的是 Bild 22 的连接类型 SV4 与 Tabelle 2；第 135 页 R9 写 $\sigma_{ASV}$ 按 Gleichung (185) 计算，该式在主文是 Gl.(170)（第 92 页）。这几处只是符号、单位与引注笔误，原文印数 $\Phi_K = 0.161$、$n = 0.35$、$\sigma_{ASV} = 48.9$ N/mm² 都按正确的式与表算出，数值与合格结论都不受影响。
  • [2] 原文第 136 页 R11 写 $m_{eff}/d = 0.8$ 由 Bild 37 查得，而 Bild 37 是设计示例图，查旋合深度的曲线是 Bild 36（§5.5.5.1，第 101 页）；这是图号笔误，0.8 本由 Bild 36 读得，合格结论不受影响。两侧旋合深度的求法也不同：原文由该图得 $m_{eff} = 9.6$ mm，计算器在没有螺纹极限尺寸时按 1.0d 估算为 12.0 mm，两者都小于现有的 14.5 mm，结论同为合格。