🧮 在线计算器：《VDI 2230-1 单螺栓连接计算》 — 完整 14 步计算链（R0～R13），含六项强度校核。
六项强度校核与拧紧力矩：R7～R13
R1～R6 回答了"该施加多大的预紧力"，R7～R13 则回答"螺栓受得了吗"。
1. R7 — 装配应力校核（§5.5.1）
这是第一道校核关卡：装配时螺栓不超过屈服强度。
标准允许利用屈服强度的一定比例（通常 $\nu = 0.9$，即 90%），许用装配比较应力为 (VDI 2230 Blatt 1:2015, §4.2 R7)：
$$ \sigma_{red,Mzul} = \nu \cdot R_{p0.2\min} \tag{R7/1} $$许用装配预紧力 $F_{Mzul}$ 考虑了拧紧时螺栓同时承受拉伸和扭转的组合应力 (VDI 2230 Blatt 1:2015, §4.2 R7)：
$$ F_{Mzul} = A_0 \cdot \frac{\nu \cdot R_{p0.2\min}}{\sqrt{1 + 3 \left[\frac{3}{2} \frac{d_2}{d_0}\left(\frac{P}{\pi \cdot d_2} + 1.155 \mu_{G\min}\right)\right]^2}} \tag{R7/2} $$式中 $A_0$ 为最弱截面积，$d_0$ 为其直径：一般取应力截面 $A_S$，$d_0 = d_S = (d_2 + d_3)/2$；光杆比 $d_S$ 细时取 $d_0 = d_{i\min}$；细腰螺栓取 $d_0 = d_T$。(R7/2) 即 §5.5.1 Gl.(143) 乘以 $\nu \cdot A_0$（Gl.(144)）(VDI 2230 Blatt 1:2015, §5.5.1)。
校核条件：
$$ F_{Mzul} \geq F_{M\max} \tag{R7/3} $$如果不满足，标准要求选用更大的公称直径，从 R2 重新计算 (VDI 2230 Blatt 1:2015, §4.2 R7)。
2. R8 — 工作应力校核（§5.5.2）
工作状态下的总螺栓力包含预紧力和附加螺栓力 (VDI 2230 Blatt 1:2015, §4.2 R8)：
$$ F_{S\max} = F_{Mzul} + \Phi_{en}^{*} \cdot F_{A\max} - \Delta F_{Vth} \tag{R8/1} $$[!IMPORTANT] 热效应符号约定 注意：此处如果 $\Delta F_{Vth} > 0$（热效应减小预紧力），则令 $\Delta F_{Vth} = 0$——这是保守方向，确保校核基于最大可能的螺栓力 (VDI 2230 Blatt 1:2015, §4.2 R8)。
最大拉伸应力和扭转应力：
$$ \sigma_{z\max} = F_{S\max} / A_0 \tag{R8/2} $$$$ \tau_{\max} = M_G / W_P \tag{R8/3} $$其中 $M_G = F_{Mzul}\dfrac{d_2}{2}\left(\dfrac{P}{\pi d_2} + 1.155\,\mu_{G\min}\right)$，$W_P = \dfrac{\pi}{16} d_0^3$ (VDI 2230 Blatt 1:2015, §4.2 R8)。
标准推荐折减系数 $k_\tau = 0.5$：运行中螺栓的扭转应力总低于装配时，弹性预紧的连接在静载下数年后约降到一半，交变载荷下会长期完全消失 (VDI 2230 Blatt 1:2015, §4.2 R8, §5.5.2.1)：
$$ \sigma_{red,B} = \sqrt{\sigma_{z\max}^2 + 3(k_\tau \cdot \tau_{\max})^2} \tag{R8/4} $$校核条件与安全系数：
$$ S_F = \frac{R_{p0.2\min}}{\sigma_{red,B}} \geq 1.0 \tag{R8/5-2} $$3. R9 — 疲劳应力校核（§5.5.3）
如果连接承受动态载荷（外力在 $F_{A\max}$ 和 $F_{A\min}$ 之间交变），需要校核疲劳。
应力幅 (VDI 2230 Blatt 1:2015, §4.2 R9)：
$$ \sigma_a = \frac{F_{SAo} - F_{SAu}}{2 A_S} \tag{R9/1} $$其中 $F_{SAo}$ 和 $F_{SAu}$ 分别是最大和最小附加螺栓力。偏心时改用弯曲应力幅 (VDI 2230 Blatt 1:2015, §4.2 R9)：
$$ \sigma_{ab} = \frac{\sigma_{SAbo} - \sigma_{SAbu}}{2} \tag{R9/2} $$$\sigma_{SAb}$ 按 §5.5.3 Gl.(188) 计算。
标准给出了螺栓疲劳极限的参考值（相对应力截面 $A_S$，$N_D \geq 2 \times 10^6$）：
滚压后调质（SV），schlussvergütet (VDI 2230 Blatt 1:2015, §4.2 R9)：
$$ \sigma_{ASV} = 0.85 \cdot (150/d + 45) \tag{R9/5-1} $$调质后滚压（SG），schlussgewalzt (VDI 2230 Blatt 1:2015, §4.2 R9)：
$$ \sigma_{ASG} = (2 - F_{Sm}/F_{0.2\min}) \cdot \sigma_{ASV} \tag{R9/5-2} $$SG 的增益随平均螺栓力 $F_{Sm}$ 升高而衰减，$F_{Sm} \to F_{0.2\min}$ 时趋于 SV 值。
校核条件（$\sigma_{a/ab}$ 表示同心取 $\sigma_a$、偏心取 $\sigma_{ab}$）：
$$ \sigma_{a/ab} \leq \sigma_{AS} \tag{R9/3} $$$$ S_D = \frac{\sigma_{AS}}{\sigma_{a/ab}} \geq 1.0 \tag{R9/4} $$安全系数由使用者确定，规范引文献 [4] 推荐 $S_D \geq 1.2$ (VDI 2230 Blatt 1:2015, §4.2 R9)。
4. R10 — 支承面压强校核（§5.5.4）
螺栓头/螺母下方的支承面压强不得超过被连接件材料的极限面压 $p_G$。标准的说法是：不应出现会引起蠕变（随时间发展的塑性流动）并伴随预紧力损失的面压 (VDI 2230 Blatt 1:2015, §4.2 R10)。
头下与 DSV 螺母下各取与之接触那一件的 $p_G$，两件材料不同时分别校核 (VDI 2230 Blatt 1:2015, §5.5.4)。
装配状态：
$$ p_{M\max} = F_{Mzul} / A_{p\min} \leq p_G \tag{R10/1} $$工作状态：
$$ p_{B\max} = (F_{V\max} + F_{SA\max} - \Delta F_{Vth}) / A_{p\min} \leq p_G \tag{R10/2} $$注意：若 $\Delta F_{Vth} > 0$，此处取 $\Delta F_{Vth} = 0$ (VDI 2230 Blatt 1:2015, §4.2 R10)。
屈服点或转角控制拧紧时，按下式计算，系数 1.4 计入了屈服点散差 (VDI 2230 Blatt 1:2015, §4.2 R10)：
$$ p_{\max} = \frac{F_{MTab}}{A_{p\min}} \cdot 1.4 \tag{R10/3} $$安全系数：
$$ S_p = p_G / p_{M/B\max} \geq 1.0 \tag{R10/4} $$5. R11 — 最小旋合深度（§5.5.5）
为防止螺纹脱扣，螺栓须被螺母螺纹或内螺纹充分覆盖。盲孔拧入连接（ESV）是最常见的临界情形；标准螺母（扁平型除外）只要强度等级不低于螺栓即可满载 (VDI 2230 Blatt 1:2015, §4.2 R11, §5.5.5)：
$$ F_{mS} \leq \min(F_{mGM},\; F_{mGS}) \tag{R11/1} $$即螺栓的最大拉力须小于内螺纹或螺栓螺纹的临界脱扣力。（原文 R11 处把 $F_{mGS}$ 印作 $F_{MGS}$，与 §2 符号表不一致，此处按符号表写。）
所需有效旋合深度（也称拧入深度）可近似查 Bild 36：横轴为内螺纹母材的抗剪强度 $\tau_{BM}$（= Tabelle 6 的 $\tau_B/R_m$ × 母材 $R_m$），按螺栓强度等级 8.8 / 10.9 / 12.9 选曲线，读出 $m_{eff}/d$。母材越软，要旋得越深：钢母材约 $0.8d$ 上下，铝、镁母材可远大于 $1d$，具体倍数随 $\tau_{BM}$ 与强度等级而定，规范只给图、没有给铝、镁的数 (VDI 2230 Blatt 1:2015, §4.2 R11, §5.5.5.1 Bild 36；铝、镁件的 $\tau_B$ 见 Anhang A Tabelle A9)。
也可以按 §5.5.5 的解析链 Gl.(195)～(213) 计算：先用强度比 $R_S$ 判断哪一侧临界，再按 Gl.(210)（内螺纹临界）或 Gl.(213)（螺栓螺纹临界）取公差极限尺寸算出所需旋合深度。总旋合深度 $m_{ges} = m_{eff} + m_{Zu}$，其中 $m_{Zu} = 2P$（Gl.(208)、(209)）(VDI 2230 Blatt 1:2015, §5.5.5)。
强度比 $R_S$ 按内螺纹件的材料分两种算法 (VDI 2230 Blatt 1:2015, §5.5.5)：
- 内外螺纹件都是钢：两侧的 $\tau_B/R_m$ 相同，可以用抗拉强度之比 $R_{mM}/R_{mS}$ 代替剪切强度之比，按 Gl.(199) 计算（在钢件前提 Gl.(196) 下由 Gl.(195)～(198) 推出）。
- 内螺纹件不是钢（铸铁、铝、镁等）：上面的前提不成立，须直接按定义式 Gl.(195) 用剪切强度之比 $\tau_{BM}/\tau_{BS}$ 计算，$\tau_{BS}$ 取 Tabelle 7 的 $\tau_B/R_m$ 乘螺栓 $R_m$。
计算器在 ESV 工况下有「内螺纹件为钢」开关：选「是」按 Gl.(199)，需填内螺纹件抗拉强度 $R_{mM}$；选「否」按 Gl.(195)，需填内螺纹件抗剪强度 $\tau_{BM}$。从 Tabelle A9 选内螺纹件材料时，开关会按材料组自动设定，$R_{mM}$、$\tau_{BM}$ 也一并回填。再填入螺纹公差极限尺寸，即按这条解析链计算；不填时按 $1.0d$ 粗估，并提示铝、镁等抗剪强度低的母材按 Bild 36 读得的旋合深度可远大于 $1.0d$。
6. R12 — 滑移安全（§5.5.6）
横向力和绕螺栓轴线的扭矩 $M_Y$ 都须靠分界面摩擦传递。最小残余夹紧力 (VDI 2230 Blatt 1:2015, §4.2 R12)：
$$ F_{KR\min} = \frac{F_{Mzul}}{\alpha_A} - (1 - \Phi_{en}^{*}) F_{A\max} - F_Z - \Delta F_{Vth} \tag{R12/1} $$[!warning] 热项取零规则与 R8、R10 方向相反 此处若 $\Delta F_{Vth} < 0$（升温使预紧力升高），通常取 $\Delta F_{Vth} = 0$ (VDI 2230 Blatt 1:2015, §4.2 R12)；只有横向载荷总在达到稳态温度后才作用时才可计入 (VDI 2230 Blatt 1:2015, §5.5.6.3)。R8、R10 的规则是 $\Delta F_{Vth} > 0$ 取 0。原因在于两边要保守的方向不同：R8、R10 要算大螺栓力或面压，R12 要算小残余夹紧力，所以都只保留不利的那一侧。
传递横向力和扭矩所需的夹紧力 (VDI 2230 Blatt 1:2015, §4.2 R12)：
$$ F_{KQerf} = \frac{F_{Q\max}}{q_F\,\mu_{T\min}} + \frac{M_{Y\max}}{q_M\,r_a\,\mu_{T\min}} \tag{R12/2} $$它与 R2 的 (R2/1)（即 Gl.(108)）是同一个式子；$M_Y$ 为绕螺栓轴线的扭矩，不是弯矩。只算横向力一项会漏掉扭矩：纯扭矩工况下 $F_{KQerf}$ 会变成 0，滑移校核形同虚设。
校核条件：
$$ F_{KR\min} > F_{KQerf} \tag{R12/3} $$滑移安全系数：
$$ S_G = \frac{F_{KR\min}}{F_{KQerf}} > 1.0 \tag{R12/4} $$安全系数由使用者确定，常用值 (VDI 2230 Blatt 1:2015, §4.2 R12)：
- 静态载荷：$S_G \geq 1.2$
- $F_Q$ 和/或 $M_Y$ 交变：$S_G \geq 1.8$
若过载使分界面静摩擦被克服（或用配合螺栓），还须排除螺栓剪断：$\tau_{Q\max} = F_{Q\max}/A_\tau$ (R12/5)，$S_A = \tau_B/\tau_{Q\max} \geq 1.1$ (R12/7)，$\tau_B/R_m$ 查 Tabelle 7 (VDI 2230 Blatt 1:2015, §4.2 R12)。这是摩擦失效后的第二道防线，不能拿来替代防滑校核。
7. R13 — 拧紧力矩（§5.4.3）
最后一步，将设计结果转化为车间可执行的安装参数 (VDI 2230 Blatt 1:2015, §4.2 R13)：
$$ M_A = F_{Mzul} \left[0.16 \cdot P + 0.58 \cdot d_2 \cdot \mu_{G\min} + \frac{D_{Km}}{2} \cdot \mu_{K\min}\right] \tag{R13/1} $$(R13/1) 即 §5.4.3.1 Gl.(127)（取 $F_M = F_{Mzul}$），$D_{Km} = (d_W + D_{Ki})/2$（Gl.(128)）。计算拧紧扭矩一律用最小摩擦系数 $\mu_{G\min}$、$\mu_{K\min}$ (VDI 2230 Blatt 1:2015, §5.4.3.1)。用防松元件时，再加超拧力矩（Überschraubmoment）$M_U$ 与头部附加力矩 $M_{KZu}$ (VDI 2230 Blatt 1:2015, §4.2 R13)：
$$ M_{A,S} = M_A + M_U + M_{KZu} \tag{R13/2} $$(R13/1) 方括号内三项分别代表：
| 项 | 物理含义 |
|---|---|
| $0.16 \cdot P$ | 螺旋升角效应（螺距贡献） |
| $0.58 \cdot d_2 \cdot \mu_{G\min}$ | 螺纹牙面摩擦力矩 |
| $\frac{D_{Km}}{2} \cdot \mu_{K\min}$ | 螺栓头/螺母支承面摩擦力矩 |
[!NOTE] 力矩的组成 典型情况下，总拧紧力矩的 80%～90% 耗在螺纹与支承面摩擦上，只有约 10%～20%（$0.16P$ 项）转化为预紧力。以计算器默认例（M14、$\mu_G = \mu_K = 0.10$）为例：支承面摩擦约占 46%，螺纹摩擦约占 38%，螺距项约占 16%。这就是为什么摩擦系数对预紧力设计如此关键。
8. 六项校核的逻辑层次
R7 装配应力校核 → 螺栓装配时不超过屈服 （静态，单次）
R8 工作应力校核 → 运行时不超过屈服 （静态，持续）
R9 疲劳应力校核 → 交变载荷下不发生疲劳断裂 （动态，长期）
R10 支承面压强校核 → 头/螺母下不压溃 （材料，蠕变）
R11 旋合深度校核 → 螺纹不脱扣 （几何，ESV 常见）
R12 滑移安全校核 → 分界面不打滑 （摩擦，横向力/扭矩）
R13 拧紧力矩 → 转化为车间参数 （输出）
如果 R7 不满足 → 选更大螺栓，从 R2 重算 如果 R8～R12 不满足 → 调整螺栓尺寸/强度等级/拧紧方法/摩擦系数/外力
数据依据与精度声明
本文公式均来自 VDI 2230 Blatt 1:2015-11 的 §4.2 计算摘要及 §5.4.3、§5.5。安全系数推荐值来自 §4.2 各 R 步正文。R13 力矩占比为 MechCalc 计算器默认例的算例值，不是规范数据。
免责声明：本文仅供工程教学参考之用。
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