🧮 在线计算器：《VDI 2230-1 单螺栓连接计算》 — 完整 14 步计算链（R0～R13），含六项强度校核。按文末「在计算器里复现」一节的输入，可以逐项复算本例。
完整计算实例：螺纹孔连接（TTJ）
本篇用一个自拟的螺纹孔连接（ESV）算例，与第八篇 DSV 实例 形成对照，对应本站的 VDI 2230-1 单螺栓连接计算器。重点突出 ESV 独有的差异点：$w = 2$、$E_M = E_{BI}$、锥角公式 Eq. 42、力比中的载荷导入附加柔度 $\delta_{PZu}$，以及 R11 旋合深度（也称拧入深度）校核。全部输入列在文末「在计算器里复现」，可以对照复算。
工程问题描述
一颗螺栓从顶部拧入铸铁壳体（灰铸铁 GJL-250），固定钢制盖板。
| 参数 | 数值 | 说明 |
|---|---|---|
| 连接类型 | 螺纹孔连接（TTJ） | 螺栓拧入铸铁壳体 |
| 外部轴向力 | $F_A = 15\,000$ N（静态） | |
| 外部横向力 | $F_Q = 0$ N | 无横向力 |
| 密封要求 | $A_D = 800$ mm²，$p_{i\max} = 10$ MPa | O 形圈密封 |
| 夹紧长度 | $l_K = 30$ mm | 钢制盖板厚度 |
| 被连接件外径 | $D_A = 40$ mm | |
| 盖板材料 | S355 JO，$E_P = 205\,000$ MPa | $E_P$ 与极限面压 $p_G = 760$ MPa 均取自 VDI 2230:2015, Tabelle A9 |
| 壳体材料 | GJL-250，$E_{BI} = 110\,000$ MPa | $R_m = 250$ MPa，$\tau_B = 290$ MPa (VDI 2230:2015, Tabelle A9) |
| 工作温度 | 室温 | $\Delta F'_{Vth} = 0$ |
| 摩擦系数 | $\mu_G = \mu_K = 0.14$ | |
| 载荷导入系数 | $n = 0.5$ | |
| 拧紧方法 | 扭矩扳手控制，目标扭矩经试验确定 | $\alpha_A = 1.6$ |
R0 — 初步选径
选定 M12 × 1.75，强度等级 10.9（螺纹参数同第八篇）；六角头支承面外径 $d_W = 17.0$ mm（本站计算器默认值），通孔直径 $d_h = 13.5$ mm，夹紧长度内光杆 10 mm。
极限尺寸 $G'$：本例为中心夹紧、中心加载。(R0/2) 的 $G' \approx (1.5 \dots 2)\,d_W$（Gl.(55)，前提是钢制旋入件）和 $G'_{\max} \approx 3\,d_W$（Gl.(56)）只在偏心工况下用作有效性门槛 (VDI 2230:2015, R0; §5.1.2.2)，这里只作参考：
$$ G' \approx (1.5 \dots 2) \times 17.0 = 25.5 \dots 34 \text{ mm}, \qquad G'_{\max} \approx 3 \times 17.0 = 51 \text{ mm} $$$c_T = D_A = 40$ mm 超过 $G'$ 的上限 34 mm，但小于 $G'_{\max} = 51$ mm。本例的旋入件是铸铁，Gl.(55) 的前提也不完全满足。
R1 — 拧紧系数
$$ \alpha_A = 1.6 $$R2 — 所需最小夹紧力
无横向力 → $F_{KQ} = 0$
密封要求 (Eq. R2/2)：
$$ F_{KP} = A_D \cdot p_{i\max} = 800 \times 10 = 8\,000 \text{ N} $$$$ F_{Kerf} = F_{KP} = 8\,000 \text{ N} $$R3 — 弹性柔度与力比
⚠️ ESV 与 DSV 在 δS 上的差异
螺栓柔度总公式不变 (Eq. 19)，但螺母区域 $\delta_M$ 不同 (VDI 2230:2015, §5.1.1.1)：
| 参数 | DSV | ESV |
|---|---|---|
| $l_M$ | $0.4d = 4.8$ mm | $0.33d = 3.96$ mm (Eq. 27) |
| $E_M$ | $E_S = 210\,000$ | $E_{BI} = 110\,000$ |
ESV 螺栓柔度 $\delta_S$：
| 段 | 长度 | 截面积 | $\delta_i$ |
|---|---|---|---|
| 头部 $\delta_{SK}$ | 6 mm | 113.1 | $2.53 \times 10^{-7}$ |
| 光杆 $\delta_1$ | 10 mm | 113.1 | $4.21 \times 10^{-7}$ |
| 自由螺纹 $\delta_{Gew}$ | 20 mm | 76.2 | $1.249 \times 10^{-6}$ |
| 旋合螺纹 $\delta_G$ | $0.5 \times 12 = 6$ mm | 76.2 | $3.75 \times 10^{-7}$ |
| 螺母 $\delta_M$ | 3.96 mm | 113.1（$E_{BI}$） | $3.18 \times 10^{-7}$ |
[!IMPORTANT] ESV 中 δM 使用内螺纹件的弹性模量 这是 ESV 与 DSV 最显著的差异——螺母区域的弹性模量取铸铁的 $E_{BI} = 110\,000$ MPa，而非螺栓钢的 210,000 MPa。对于铝合金壳体（$E_{BI} \approx 70\,000$ MPa），这个效应更加明显 (VDI 2230:2015, §5.1.1.1, S.42)。 而且 $\delta_M$ 在 ESV 里出现两次：一次在分母，作为 $\delta_S$ 的一部分；一次在分子，作为载荷导入附加柔度 $\delta_{PZu}$（见下文力比）。
ESV 被连接件柔度
ESV 的连接系数 $w = 2$，锥角使用 Eq. 42。本例没有另给基本体外径，取 $D_A' = D_A$：
$$ \beta_L = l_K / d_W = 30 / 17.0 = 1.765 $$$$ y = D_A' / d_W = 40 / 17.0 = 2.353 $$$$ \tan\varphi_E = 0.348 + 0.013\ln(1.765) + 0.193\ln(2.353) = 0.348 + 0.0074 + 0.1651 = 0.5205 $$限界直径 (Eq. 39, $w = 2$)：
$$ D_{A,Gr} = 17.0 + 2 \times 30 \times 0.5205 = 48.2 \text{ mm} $$$D_A = 40 < D_{A,Gr} = 48.2$ → 用 Eq. 41（锥体 + 套筒）：
$$ \delta_P = \frac{\frac{2}{2 \times 13.5 \times 0.5205}\ln\left[\frac{(17.0+13.5)(40-13.5)}{(17.0-13.5)(40+13.5)}\right] + \frac{4}{40^2-13.5^2}\left[30-\frac{40-17.0}{2 \times 0.5205}\right]}{205\,000 \times \pi} $$对数项：$\ln\left[\frac{30.5 \times 26.5}{3.5 \times 53.5}\right] = \ln(4.316) = 1.462$
套筒长度：$l_H = l_K - \frac{D_A - d_W}{w \cdot \tan\varphi} = 30 - \frac{23.0}{1.041} = 30 - 22.09 = 7.91$ mm
$$ \delta_P = \frac{\frac{2 \times 1.462}{14.05} + \frac{4 \times 7.91}{1417.8}}{644\,026} = \frac{0.208 + 0.022}{644\,026} = 3.58 \times 10^{-7} \text{ mm/N} $$力比 Φ
ESV 时 $w = 2$，按 Gl.(81) $\delta_{PZu} = (w-1)\delta_M = \delta_M = 3.18 \times 10^{-7}$ mm/N。力在 ESV 里有相当一部分经旋入的螺纹段传递，这一项就是对它的修正 (VDI 2230:2015, §5.3.1)。代入 (R3/3)：
$$ \Phi_n = n \cdot \frac{\delta_P + \delta_{PZu}}{\delta_S + \delta_P} = 0.5 \times \frac{3.58 + 3.18}{26.16 + 3.58} = 0.5 \times \frac{6.76}{29.74} = 0.114 $$计算器给出的精确值是 $\Phi = 0.1137$。如果漏掉 $\delta_{PZu}$，只会得到 0.060，把螺栓分担的外力低估将近一半。这正是 ESV 与 DSV 在力比上的关键差别。
$$ F_{SA} = 0.1137 \times 15\,000 = 1\,705 \text{ N}, \qquad F_{PA} = (1 - 0.1137) \times 15\,000 = 13\,295 \text{ N} $$R4 — 预紧力变化
$f_Z$ 查 Tabelle 5，取最粗糙档（$R_z = 40 \dots 160\ \mu$m，拉/压载荷）。ESV 只有螺栓头一个支承面，另有 1 个内部分界面（盖板与壳体之间）：
$f_Z$ ＝ 螺纹 3 μm + 头支承面 4 μm + 1 个内部分界面 3 μm ＝ 10 μm (VDI 2230:2015, §5.4.2.1, Tabelle 5)
$$ F_Z = \frac{0.010}{2.974 \times 10^{-6}} = 3\,363 \text{ N} $$注：Tabelle 5 的参考值测自钢制零件，铸铁壳体属于外推，所以偏保守地取最粗糙档。
R5 — 最小装配预紧力
$$ F_{M\min} = 8\,000 + (1-0.1137) \times 15\,000 + 3\,363 = 8\,000 + 13\,295 + 3\,363 = 24\,658 \text{ N} $$R6 — 最大装配预紧力
$$ F_{M\max} = 1.6 \times 24\,658 = 39\,452 \text{ N} $$R7 — 装配应力校核
许用装配预紧力按 (R7/2) 计算，$\mu_G = 0.14$，其余代入值同第八篇 M12：
$$ F_{Mzul} = 84.26 \times \frac{846}{\sqrt{1 + 3 \times [1.573 \times (0.0513 + 0.1617)]^2}} = 84.26 \times \frac{846}{\sqrt{1.337}} = 84.26 \times 731.7 = 61\,657 \text{ N} $$$$ 61\,657 \geq 39\,452 \;\Rightarrow\; F_{Mzul} \geq F_{M\max} $$✅ M12-10.9 足够！（与 DSV 实例形成对比——ESV 的横向力为零、密封夹紧力较小，所以 M12 通过了）
R8～R12 校核汇总
| 步骤 | 校核项 | 计算值 | 许用值 | 安全系数 | 结果 |
|---|---|---|---|---|---|
| R8 | 工作应力 | $\sigma_{red,B} = 803.5$ N/mm² | $R_{p0.2} = 940$ N/mm² | $S_F = 1.17$ | ✅ |
| R9 | 疲劳 | 静载，$\sigma_a = 0$ | — | — | 不需校核 |
| R10 | 支承面压强（钢盖板） | $p_{B\max} = 756$ N/mm² | $p_G = 760$ N/mm² | $S_P = 1.03$，$S_{pB} = 1.01$ | ✅（余量很小） |
| R11 | 旋合深度 | $m_{eff,\min} = 13.6$ mm | — | — | 见下 |
| R12 | 滑移 | $F_Q = 0$ → 不需要 | — | — | — |
R8 — 工作应力
扭矩控制拧紧，按 (R8/4) 计入扭应力，$k_\tau = 0.5$ (VDI 2230:2015, R8)：
$$ F_{S\max} = F_{Mzul} + \Phi F_A = 61\,657 + 0.1137 \times 15\,000 = 63\,363 \text{ N} $$$$ \sigma_{z\max} = \frac{63\,363}{84.26} = 752.0 \text{ N/mm}^2, \qquad \tau_{\max} = \frac{M_G}{W_P} = \frac{71\,324}{218.2} = 326.9 \text{ N/mm}^2 $$$$ \sigma_{red,B} = \sqrt{752.0^2 + 3 \times (0.5 \times 326.9)^2} = 803.5 \text{ N/mm}^2, \qquad S_F = \frac{940}{803.5} = 1.17 \geq 1.0 $$R10 — 支承面压强
螺栓头压在钢制盖板上，所以 R10 校核的是盖板（S355 JO，$p_G = 760$ N/mm²）。壳体 GJL-250（Tabelle A9 的 $p_G = 850$ N/mm²）不在螺栓头下，R10 不涉及它。
$D_{Ki}$ 没有给出，按通孔直径 $d_h = 13.5$ mm 取值（面积偏大，结果偏不保守）：
$$ A_{p\min} = \frac{\pi}{4}(17.0^2 - 13.5^2) = 83.8 \text{ mm}^2 $$- 装配态：$p_{M\max} = F_{Mzul}/A_{p\min} = 61\,657/83.8 = 735$ N/mm²，$S_P = 1.03$；
- 运行态：$p_{B\max} = (61\,657 + 1\,705)/83.8 = 756$ N/mm²，$S_{pB} = 1.01$。
两项都通过，但余量很小。孔口若有倒角，实际面积还会更小，可以考虑在头下加一片垫圈（外径按 $d_{Wa} = d_W + 1.6\,h_S$ 计，Gl.(194)）。
R11 — 旋合深度校核（ESV 专属）
这是 ESV 独有的校核步骤 (VDI 2230:2015, §5.5.5, R11)。先用强度比 $R_S$ 判断哪一侧的螺纹先被剪脱。强度比按剪切强度和螺纹剪切面积之比定义 (VDI 2230:2015, §5.5.5, Gl.(195))：
$$ R_S = \frac{\tau_{BM} \cdot A_{SGM}}{\tau_{BS} \cdot A_{SGS}} $$内、外螺纹的剪切面积 $A_{SGM}$、$A_{SGS}$ 由 Gl.(197)、(198) 给出，两式相除后旋合深度约去，面积比只取决于螺纹几何，M12 粗牙为 1.386。GJL-250 的 $\tau_{BM} = 290$ N/mm² (Tabelle A9)；10.9 级螺栓的 $\tau_B/R_m = 0.62$ (Tabelle 7)，故 $\tau_{BS} = 0.62 \times 1040 = 644.8$ N/mm²：
$$ R_S = 1.386 \times \frac{290}{644.8} = 0.623 < 1 $$属于内螺纹临界：过载时先被剪脱的是壳体里的螺纹。
[!note] 为什么不用 Gl.(199) Gl.(199) 是在钢件前提（Gl.(196)）下由 Gl.(195)～(198) 推出的，把剪切强度之比换成抗拉强度之比 $R_{mM}/R_{mS}$，前提是内外螺纹材料的 $\tau_B/R_m$ 相同，即只适用于钢对钢 (VDI 2230:2015, §5.5.5, Gl.(196)、(199))。GJL-250 是灰铸铁，$\tau_B/R_m = 290/250 \approx 1.16$，而 10.9 级螺栓只有 0.62，前提不成立，所以本例按 Gl.(195) 计算。 钢口径对照：若误按 Gl.(199)，$R_S \approx 0.33$，下文的 $m_{eff,\min}$ 会少算约 3.4%，偏不保守。
内螺纹临界时，所需旋合深度取决于内螺纹材料的剪切强度 $\tau_{BM}$（本例 290 N/mm²）。螺纹有效尺寸未知时，按最不利的公差组合计算，即螺栓大径取下极限、内螺纹中径取上极限，并取 $R_{m,\max} \approx 1.2\,R_{m,\min}$ (VDI 2230:2015, §5.5.5.1, Gl.(210))。M12 的 6g/6H 极限尺寸为 $d_{\min} = 11.701$ mm、$D_{2\max} = 11.063$ mm（ISO 965）：
$$ m_{ges,\min} = \frac{R_{m,\max} A_S P}{C_1 C_3 \tau_{BM,\min}\left[\frac{P}{2} + (d_{\min} - D_{2\max})\tan 30^\circ\right]\pi d_{\min}} + 2P $$$$ = \frac{1.2 \times 1040 \times 84.3 \times 1.75}{1 \times 1.019 \times 290 \times [0.875 + 0.638 \times 0.577] \times \pi \times 11.701} + 3.5 = 13.63 + 3.5 = 17.13 \text{ mm} $$式中 $C_1 = 1$（未给内螺纹周围材料尺寸，按 ESV 常见的 $s/d > 1.9$ 取），$C_3 = 0.728 + 1.769 R_S - 2.896 R_S^2 + 1.296 R_S^3 = 1.019$（Gl.(202)，$0.4 < R_S < 1$ 时适用）。扣掉 $2P$ 的螺纹收尾和倒角，得最小有效旋合深度：
$$ m_{eff,\min} = 17.13 - 2 \times 1.75 = 13.63 \text{ mm}, \qquad m_{eff}/d \approx 1.1 $$设计建议：有效旋合深度取 14 mm，对应总旋合深度 $m_{ges} = 14 + 2 \times 1.75 = 17.5$ mm。两项分别不小于所需的 13.63 mm 和 17.13 mm，满足要求，但余量只有约 0.4 mm。
[!note] Bild 36 怎么读 Bild 36 以内螺纹材料的剪切强度 $\tau_{BM}$ 为横轴、按螺栓强度等级 8.8 / 10.9 / 12.9 分三条曲线：$\tau_{BM}$ 越低，所需 $m_{eff}/d$ 越大 (VDI 2230:2015, §5.5.5.1, Bild 36)。 这些曲线就是按上面的 Gl.(210) 公差极值算出来的，并以 M4 为最不利规格取上包络，所以对 M12 读图会比解析值略偏保守。横轴是剪切强度，不是抗拉强度 $R_m$；拿 $R_m$ 去查图会读错。
R13 — 拧紧力矩
支承面摩擦直径 $D_{Km} = (d_W + D_{Ki})/2 = (17.0 + 13.5)/2 = 15.25$ mm：
$$ M_A = 61\,657 \times \left[0.16 \times 1.75 + 0.58 \times 10.863 \times 0.14 + \frac{15.25}{2} \times 0.14\right] $$$$ = 61\,657 \times [0.280 + 0.882 + 1.068] = 61\,657 \times 2.230 = 137\,470 \text{ N·mm} $$$$ M_A \approx 137.5 \text{ N·m} $$DSV vs ESV 对比总结
| 项目 | 第八篇 DSV（M16-10.9） | 本篇 ESV（M12-10.9） |
|---|---|---|
| 连接系数 $w$ | 1 | 2 |
| 锥角公式 | Eq. 43 | Eq. 42 |
| $E_M$（螺母区域） | $E_S = 210\,000$ | $E_{BI} = 110\,000$ |
| $l_M$（螺母替代长度） | $0.4d$ | $0.33d$ |
| $\delta_{PZu}$（载荷导入附加柔度） | 0 | $\delta_M$ |
| R11 旋合深度 | 不适用 | 必须校核 |
| 主导设计因素 | 横向力 $F_{KQ}$ | 密封 $F_{KP}$ |
在计算器里复现
打开 VDI 2230-1 单螺栓连接计算器 ，按下表填写，未列出的输入保持默认，然后点「执行计算」。本例是自拟算例，下表给出全部输入。
| 输入项（界面名称） | 填写 | 说明 |
|---|---|---|
| 计算模式 | 校核模式（指定规格） | |
| 连接类型 | TTJ — 螺纹孔/ESV | |
| 螺栓规格 / 螺栓头型 | M12 / 六角头 | $d_W$ 取默认值 17.0 mm |
| 被夹件分层 | 一层，厚 30 mm | 点材料按钮选 Tabelle A9 的 S355 JO（回填 $E_P = 205\,000$、$p_G = 760$） |
| 分界面等效外径 $D_A$ | 40 mm | 基本体等效外径 $D_A'$ 留空 |
| 被夹件柔度按通孔连接（TBJ）近似 | 自动 | 未给 $D_A'$，不降级 |
| 通孔直径 $d_h$ / 夹紧光杆段长 $l_1$ | 13.5 mm / 10 mm | |
| 内螺纹件弹性模量 $E_{BI}$ | 点旁边的「选择材料」，选 Tabelle A9 的 GJL-250 | 同时回填 $E_{BI} = 110\,000$、$R_{mM} = 250$、$\tau_{BM,min} = 290$，并把「内螺纹件为钢」设为「否」 |
| 内螺纹件为钢 | 否（剪切强度之比，Gl.(195)） | 上一行选材已自动设置；手工填写时须自己选「否」 |
| 内螺纹件最小抗剪强度 $\tau_{BM,min}$ | 290 N/mm² | 选材已回填；非钢时必填，$R_S$ 由它算出 |
| 外螺纹大径下极限 $d_{min}$ | 11.701 mm | M12 6g |
| 内螺纹中径上极限 $D_{2max}$ | 11.063 mm | M12 6H |
| 实际可用旋合深度 $m_{eff,vorh}$ | 14 mm | 可选；给出后 R11 出通过判定，留空则 R11 记「未校核」 |
| 轴向载荷 $F_A$ / 横向载荷 $F_Q$ | 15 000 N / 0 | |
| 内压 $p_i$ / 密封面积 $A_D$ | 10 N/mm² / 800 mm² | |
| 载荷导入系数 $n$ | 0.5 | |
| 强度等级 | 10.9 | |
| 螺纹 / 头部摩擦系数 | 0.14 / 0.14 | 分界面摩擦系数保持默认，本例无横向力，不影响结果 |
| 拧紧方法 / 拧紧系数 $\alpha_A$ | 扭矩控制法 / 1.6 | |
| 利用率 $\nu$ | 0.9 | |
| 沉陷量 $f_Z$ | 0.010 mm | 即 R4 取的 10 μm |
| 考虑温度影响 / 疲劳校核 | 否 / 否 |
计算结果与本文的对应关系：
| 计算器输出 | 计算器值 | 本文位置 |
|---|---|---|
| 螺栓柔度 $\delta_S$ / 被连接件柔度 $\delta_P$ | $2.616 \times 10^{-6}$ / $3.578 \times 10^{-7}$ mm/N | R3 |
| 力比 $\Phi$ | 0.1137 | R3（步骤页写出 $\delta_{PZu} = 3.1831 \times 10^{-7}$） |
| 所需最小夹紧力 $F_{Kerf}$ | 8 000 N | R2 |
| 嵌入导致的预紧力损失 $F_Z$ | 3 363 N | R4 |
| $F_{M\min}$ / $F_{M\max}$ / $F_{Mzul}$ | 24 658 / 39 452 / 61 657 N | R5～R7 |
| 最大螺栓力 $F_{S\max}$ / 工作等效应力 $\sigma_{red,B}$ | 63 363 N / 803.5 N/mm² | R8 |
| 装配态 / 运行态面压 | 735.4 / 755.7 N/mm² | R10 |
| 强度比 $R_S$ / R11 临界侧 | 0.6232 / 内螺纹 | R11（步骤页注明按 Gl.(195)） |
| 系数 $C_3$ | 1.0194 | R11 |
| 所需总旋合深度 $m_{ges,min}$ / 最小有效旋合深度 $m_{eff,min}$ | 17.127 / 13.63 mm | R11 |
| 拧紧力矩 $M_A$ | 137 470 N·mm | R13 |
| $S_F$ / $S_P$ / $S_{pB}$ | 1.17 / 1.03 / 1.01 | 汇总 |
内螺纹件不是钢时，$\tau_{BM,min}$ 是算 $R_S$ 的必需量，缺了它计算器会报输入错误。$d_{min}$、$D_{2max}$ 两项要么都填，要么都不填，只填一项也会报错。两项都不填时，计算器仍能判出内螺纹临界，但不走 Gl.(210) 的公差版，改用 $m_{eff} = 1.0d = 12$ mm 粗估，比本文的 13.63 mm 偏小，步骤页会注明这一点。
数据依据与精度声明
本文所有公式来自 VDI 2230 Blatt 1:2015-11。螺纹参数来自 DIN 13-1，M12 的 6g/6H 极限尺寸按 ISO 965 取值。GJL-250 与 S355 JO 的材料值取自 VDI 2230 Tabelle A9，六角头支承面外径 $d_W$ 取本站计算器的默认值。
免责声明：本文仅供工程教学参考之用。
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