出处：Verein Deutscher Ingenieure. (2015). VDI 2230 Blatt 1 / Part 1: Systematische Berechnung hochbeanspruchter Schraubenverbindungen – Zylindrische Einschraubenverbindungen（Ausg. deutsch/englisch, 2015-11）. Düsseldorf: VDI; Berlin: Beuth. Anhang B, Beispiel B4 Pleuellagerdeckelverschraubung als Beispiel für exzentrische Verspannung und Belastung（连杆轴承盖螺栓连接：偏心夹紧与偏心受载算例），第 149–158 页，Bild B4–B6

计算器：VDI 2230-1 单螺栓连接计算 ，一键载入本题输入，点「执行计算」即可复算。

题目

汽车发动机连杆轴承盖与连杆之间的一颗 M8×53、12.9 级缩颈螺栓，缩颈段直径 $d_T = 5.82$ mm，穿过通孔、用螺母拧紧（通孔连接），按转角控制法拧过屈服点（超弹性拧紧）。夹紧长度 $l_K = 45$ mm 内，螺栓杆依次为 22 mm 缩颈段、6 mm 定心凸肩、15 mm 缩颈段和 2 mm 自由螺纹。被夹件为调质 Cq 45 钢。分界面上作用轴向载荷 $F_{A\max} = 5000$ N、横向力 $F_{Q\max} = 2440$ N 和弯矩 48 N·m；分界面不是圆形，属偏心夹紧加偏心受载（第 149–152 页）。

连杆轴承盖螺栓连接上的力与力矩 连杆轴承盖螺栓连接上的力与力矩（来源：VDI 2230 Blatt 1:2015, Bild B4, 第 149 页）

输入参数

本题的偏心分界面几何与载荷位置输入 本题的偏心分界面几何与载荷位置输入（据 mechCalc 计算器载入本题绘制）

名称 符号 取值
被夹件分层 1，弹性模量 $E_{P}$ 205000 N/mm²
被夹件分层 1，材料 — Cq 45
被夹件分层 1，极限支承面压强 $p_{G}$ 990 N/mm²
被夹件分层 2，弹性模量 $E_{P}$ 205000 N/mm²
被夹件分层 2，材料 — Cq 45
被夹件分层 2，极限支承面压强 $p_{G}$ 990 N/mm²
强度等级 — 12.9
屈服强度 $R_{p0{,}2}$ 1100 N/mm²
抗拉强度 † $R_m$ 1220 N/mm²
弹性模量 $E_S$ 210000 N/mm²
螺栓规格 $d$ M8
产品数据的支承面外径 $d_W$ 12.3 mm
被夹件分层 1，厚度 † $h$ 25 mm
被夹件分层 2，厚度 † $h$ 20 mm
分界面等效外径 $D_A$ 18.6 mm
基本体等效外径（可选） $D_A'$ 18.6 mm
通孔直径 $d_h$ 9 mm
螺栓分段 1，长度 $l$ 22 mm
螺栓分段 1，直径 $d$ 5.82 mm
螺栓分段 2，长度 $l$ 6 mm
螺栓分段 2，直径 $d$ 9 mm
螺栓分段 3，长度 $l$ 15 mm
螺栓分段 3，直径 $d$ 5.82 mm
螺栓分段 4，长度 $l$ 2 mm
头侧支承面内径（可选） $D_{Ki}$ 9 mm
螺母支承面外径（可选） $d_{WMu}$ 11.6 mm
螺母侧支承面内径（可选） $D_{Ki,Mu}$ 9 mm
支承面边缘到力引入点距离（可选） $a_k$ 0 mm
基本体到力引入点长度（可选） $l_A$ 2.95 mm
夹紧偏心距 $s_{sym}$ 0.5 mm
受载偏心距 $a$ 9.6 mm
易张开侧边距 $e$ 5.5 mm
张开点距离 $u$ 6 mm
分界面尺寸 $c_T$ 12 mm
变形套筒宽度 $b$ 25 mm
张开计算用接触面积 $A_D$ 208.4 mm²
分界面惯性矩 $I_{BT}$ 3600 mm⁴
较薄被夹板厚度 $h_{min}$ 20 mm
轴向载荷 $F_A$ 5000 N
横向载荷 $F_Q$ 2440 N
载荷导入系数 $n$ 0.58
计算模式 — 校核模式（指定规格）
连接类型 — TBJ — 通孔连接
螺栓头型 — 特制头（自填承压外径）
螺栓分段 1，段类型 — 自定义 $d$
螺栓分段 2，段类型 — 自定义 $d$
螺栓分段 3，段类型 — 自定义 $d$
螺栓分段 4，段类型 — 螺纹（$A_{d3}$）
力引入连接类型（可选） — SV 1
摩擦系数等级（Tabelle A5） — B
螺纹摩擦系数 $\mu_{G,min}$ 0.08
分界面摩擦系数 $\mu_{T,min}$ 0.15
滑移分界面数 $q_F$ 1
拧紧方法 — 转角控制法（αA = 1.0）
拧紧系数 $\alpha_A$ 1
嵌入量取法 — 按 Tabelle 5 累加
表面粗糙度 $R_z$ 10 ≤ Rz < 40 μm
载荷方向（Tabelle 5） — 拉 / 压
内分界面数 — 1
加工硬化系数 $k_V$ 1.15
螺纹摩擦系数上界（可选） $\mu_{G,max}$ 0.14
螺纹加工工艺 — SV（滚压后调质）
偏心夹紧 / 偏心受载 — 是

† 原文未给：被夹件分层厚度取头侧 25 mm、螺母侧 20 mm。原文只印 $l_K = 45$ mm 与较薄板厚 $h_{min} = 20$ mm（Bild B5，第 150 页），没有写较薄的一块在哪一侧；按 Bild B4、B5 的图面方位它在头侧，而 Bild B6 的定心凸肩位于头下 22 mm 至 28 mm（第 151 页），R4 又因定心凸肩不计横向力引起的嵌入（第 154 页），分界面须落在凸肩内，这要求头侧为 25 mm，本题取后者；两层材料相同，互换两层厚度后所有对照量与判定都不变。螺栓抗拉强度 $R_m = 1220$ N/mm²，取 12.9 级的最小抗拉强度（DIN EN ISO 898-1:2013-05, 7, Table 3）。

计算过程

预紧力（R1–R6）

步骤 6　R2：所需最小夹紧力 $F_{Kerf}$ · VDI 2230 Blatt 1:2015, R2/1~R2/4 (Gl.108/109/107/110/111)

$$F_{KA}=F_{A\max}\frac{A_D(a\,u-s_{sym}u)}{I_{BT}+s_{sym}u A_D}$$$$F_{Kerf}\geq\max(F_{KQ};\,\max(F_{KP},F_{KR,req})+F_{KA})$$

代入：$F_{KQ} = 2440/(1 \cdot 0.15) = 16267\,\text{N}$（摩擦传力）

$F_{KP} = 0\,\text{N}$（密封）

$F_{KR,req} = 0\,\text{N}$（指定值）

$F_{Kerf} = 16267\,\text{N}$

$F_{A\max} = 5000$, $a = 9.600$, $u = 6.000$, $s_{sym} = 0.500$, $A_D = 208$, $I_{BT} = 3600$（输入值）→ $F_{KA} = 13465\,\text{N}$（张开极限，VDI 2230 Blatt 1:2015，§5.3.2，式 (107)）

此处 $A_D$ 是张开模型的接触面积，不是 $F_{KP}$ 的密封面积

◆ 对照量 传递横向力所需的夹紧力 $F_{KQ}$ = 16266.7 N，例题值 16267，误差 0.00 %（见「结果比对」）

◆ 对照量 所需最小夹紧力 $F_{Kerf}$ = 16266.7 N，例题值 16267，误差 0.00 %（见「结果比对」）

◆ 对照量 防张开夹紧力 $F_{KA}$ = 13465.2 N，例题值 13465，误差 0.00 %（见「结果比对」）

步骤 7　R3a：螺栓轴向柔度 $\delta_S$ · VDI 2230 Blatt 1:2015, §5.1.1.1, Bild 6, Gl.(18)(19)

$$\delta_S = \delta_{SK} + \sum_i \frac{l_i}{E_S A_i} + \delta_{GM}$$$$\delta_i = \frac{l_i}{E_S A_i}$$

代入：4 段：$\delta_{1} = 3.938 \times 10^{-6}$（$l = 22\,\text{mm}$，自定义，$d = 5.820\,\text{mm}$，$A_i = \pi/4\,d_i^2$（式 (18)））

$\delta_{2} = 4.491 \times 10^{-7}$（$l = 6\,\text{mm}$，自定义，$d = 9.000\,\text{mm}$，$A_i = \pi/4\,d_i^2$（式 (18)））

$\delta_{3} = 2.685 \times 10^{-6}$（$l = 15\,\text{mm}$，自定义，$d = 5.820\,\text{mm}$，$A_i = \pi/4\,d_i^2$（式 (18)））

$\delta_{4} = 2.900 \times 10^{-7}$（$l = 2\,\text{mm}$，螺纹，$d = 6.466\,\text{mm}$，$A_{d3}$（式 (23)））

$\delta_{SK} = 3.789 \times 10^{-7}$, $\delta_{GM} = 8.832 \times 10^{-7}$ → $\delta_S = 8.6242 \times 10^{-6}\,\text{mm/N}$（头型：特制头）

$l_{SK} = 0.5\,d$（式 (30)）针对通孔的中等系列（DIN EN 20273）

请对照该系列核对所输入的 $d_h$

◆ 对照量 螺栓柔度 $\delta_S$ = $8.62419\times10^{-6}$ mm/N，例题值 $8.62\times10^{-6}$，误差 +0.05 %（见「结果比对」）

步骤 9　R3b：被连接件柔度 $\delta_P$ · VDI 2230 Blatt 1:2015, §5.1.2.1, Gl.(41)/(46)–(50)

$$\delta_P=\frac{2}{w}\,\delta_P^V+\delta_P^H$$

代入：分支 ③ 锥 + 套筒（$d_W < D_A < D_{A,Gr}$）

$d_W = 12.30$, $D_A = 18.6$, $d_h = 9.0$, $w = 1$, $D_A' = 18.6$, $\tan\varphi = 0.4446$, $D_{A,Gr} = 32.31$ (mm), $l_V = 7.09$, $l_H = 30.83$ → $\delta_P = 1.3503 \times 10^{-6}\,\text{mm/N}$

◆ 对照量 被连接件柔度 $\delta_P$ = $1.35034\times10^{-6}$ mm/N，例题值 $1.351\times10^{-6}$，误差 -0.05 %（见「结果比对」）

步骤 10　R3b-e：偏心夹紧——$I_{Bers}$、$\delta_P^*$、$\delta_P^{**}$ · VDI 2230 Blatt 1:2015, §5.1.2.2–§5.1.2.3, Gl.(59)–(62), (64), (67), (71)

$$I_{Bers}=\frac{l_K}{\frac{2}{w}\frac{l_V}{I^{Ve}_{Bers}}+\frac{l_H}{I^H_{Bers}}}$$$$\delta_P^{*}=\delta_P+\frac{s_{sym}^2 l_K}{E_P I_{Bers}}$$$$\delta_P^{**}=\delta_P+\frac{a\,s_{sym} l_K}{E_P I_{Bers}}$$

代入：$I^V_{Bers} = 2424$, $I^{Ve}_{Bers} = 2492\,\text{mm}^4$

$I^H_{Bers} = 3600\,\text{mm}^4$ ($b = 25$)

$I_{Bers} = 3158$, $\bar I_{Bers} = 2836\,\text{mm}^4$

$\delta_P^{*} = 1.3677 \times 10^{-6}$, $\delta_P^{**} = 1.6840 \times 10^{-6}\,\text{mm/N}$

◆ 对照量 变形锥惯性矩 $I_{Bers}^{V}$ = 2424.5 mm⁴，例题值 2424.5，误差 0.00 %（见「结果比对」）

◆ 对照量 计入偏心 $s_{sym}$ 的变形锥惯性矩 $I_{Bers}^{Ve}$ = 2492.4 mm⁴，例题值 2492.4，误差 0.00 %（见「结果比对」）

◆ 对照量 变形套筒惯性矩 $I_{Bers}^{H}$ = 3600 mm⁴，例题值 3600，误差 0.00 %（见「结果比对」）

◆ 对照量 变形体等效惯性矩 $I_{Bers}$ = 3158.1 mm⁴，例题值 3157.8，误差 +0.01 %（见「结果比对」）

◆ 对照量 偏心夹紧的被连接件柔度 $\delta_P^{*}$ = $1.36771\times10^{-6}$ mm/N，例题值 $1.368\times10^{-6}$，误差 -0.02 %（见「结果比对」）

◆ 对照量 偏心夹紧与偏心受载的被连接件柔度 $\delta_P^{**}$ = $1.68398\times10^{-6}$ mm/N，例题值 $1.685\times10^{-6}$，误差 -0.06 %（见「结果比对」）

步骤 12　R3d：载荷系数 $\Phi^*_{en}$ · VDI 2230 Blatt 1:2015, R3/4, Gl.(91), (92)

$$\Phi^*_{en} = n \cdot \frac{\delta_P^{**} + \delta_{PZu}}{\delta_S + \delta_P^{*}}$$

代入：$\delta_{PZu} = (w-1)\,\delta_M = 0\,\text{mm/N}$

$\Phi^*_{en} = 0.58 \cdot (1.6840 \times 10^{-6} + 0) / (8.6242 \times 10^{-6} + 1.3677 \times 10^{-6}) = 0.097750$

◆ 对照量 载荷系数（力比）$\Phi$ = 0.0977，例题值 0.098，误差 -0.31 %（见「结果比对」）

步骤 13　R4：预紧力变化 · VDI 2230-1:2015, §5.4.2.1, Tabelle 5

$$f_Z = \frac{f_{Z,thread} + n_{bearing} f_{Z,bearing} + n_{inner} f_{Z,inner}}{1000}$$$$F_Z = \frac{f_Z}{\delta_S + \delta_P}$$

代入：表 5，$10 \leq R_z < 40\,\mu\text{m}$，拉压：螺纹 3 μm

支承面 2 × 3 μm

内分界面 1 × 2 μm

合计 11 μm = 0.011 mm

$F_Z = 0.011 / 9.9745 \times 10^{-6} = 1103\,\text{N}$

表 5 仅适用于无涂层的实心钢制零件

铝制零件的嵌入量更大（例如螺纹孔连接的螺纹处取 10 μm 而非 5 μm）（VDI 2230-1 §5.4.2.1）

超过表 A9 的极限支承面压强 $p_G$ 后，表 5 的数值不再有效

对于多层薄板叠层，应通过试验测定 $F_Z$（VDI 2230-1 §5.4.2.1）

表 5 另有剪切工况的数值

附录 B 的算例 B2 与 B3 取剪切，B4 取拉压（横向载荷由定心台肩承担）

◆ 对照量 嵌入量 $f_Z$（螺纹） = 3 μm，例题值 3，误差 0.00 %（见「结果比对」）

◆ 对照量 嵌入量 $f_Z$（每个支承面） = 3 μm，例题值 3，误差 0.00 %（见「结果比对」）

◆ 对照量 嵌入量 $f_Z$（每个内分界面） = 2 μm，例题值 2，误差 0.00 %（见「结果比对」）

◆ 对照量 嵌入量 $f_Z$ = 11 μm，例题值 11，误差 0.00 %（见「结果比对」）

◆ 对照量 嵌入导致的预紧力损失 $F_Z$ = 1103 N，例题值 1103，误差 0.00 %（见「结果比对」）

步骤 14　R5：最小装配预紧力 $F_{M\min}$ · VDI 2230, R5/1

$$F_{M\min} = F_{Kerf} + (1-\Phi^*_{en})\cdot F_A + F_Z + \Delta F'_{Vth}$$

代入：$F_{M\min} = 16267 + (1-0.0977) \cdot 5000 + 1103 + 0 = 21881\,\text{N}$

◆ 对照量 最小装配预紧力 $F_{M\min}$ = 21881 N，例题值 21880，误差 0.00 %（见「结果比对」）

步骤 15　R6：最大装配预紧力 $F_{M\max}$ · VDI 2230, R6/1

$$F_{M\max} = \alpha_A \cdot F_{M\min}$$

代入：$F_{M\max} = 1.00 \cdot 21881 = 21881\,\text{N}$

◆ 对照量 最大装配预紧力 $F_{Mmax}$ = 21881 N，例题值 21880，误差 0.00 %（见「结果比对」）

校核（R7–R13）

步骤 16　R7：许用装配预紧力 $F_{Mzul}$ · VDI 2230-1:2015, §5.5.1; Anhang B, Beispiel B4, R7

$$F_{Mzul} = \frac{F_{MTab}}{\nu_{Tab}}$$

代入：$d_0 = d_i = 5.820\,\text{mm}$（最弱段）

$A_0 = 26.6\,\text{mm}^2$

缩颈螺栓：按 §5.5.1 取 $d_0 = d_{i,min}$

超弹性拧紧（屈服点控制或转角控制）：$F_{Mzul} = F_{MTab}/\nu_{Tab} = 23798/0.9$（$\nu_{Tab} = 0.9$，不使用所输入的 $\nu$），$R_{p0,2} = 1100.0\,\text{N/mm}^2$ → $F_{Mzul} = 26442\,\text{N}$

◆ 对照量 相关截面积 $A_0$ = 26.603 mm²，例题值 26.6，误差 +0.01 %（见「结果比对」）

◆ 对照量 许用装配预紧力 $F_{Mzul}$ = 26442 N，例题值 26444，误差 -0.01 %（见「结果比对」[1]）

步骤 17　R7b：许用装配预紧力的上限 · VDI 2230 Blatt 1:2015, §5.5.1, Gl.(147) ✔

$$F_{Mmax}\ \leq\ F_{Mzul}\ \leq\ 1.4\,F_{MTab}$$

代入：$F_{MTab} = 23798\,\text{N}$——表 A1–A4 的取值：取 $R_{p0,2\min}$ 的 90 %，按式 (142)/(143) 以 $\nu = 1$ 计算（VDI 2230 Blatt 1:2015，§5.5.1）

上限 $1.4\,F_{MTab} = 33317\,\text{N}$, $F_{Mzul} = 26442\,\text{N}$

$F_{Mzul}/F_{MTab} = 1/0.9 = 1.111$

◆ 对照量 表值装配预紧力 $F_{MTab}$ = 23798 N，例题值 23800，误差 -0.01 %（见「结果比对」[1]）

步骤 21　R8b：屈服后的预紧力 $F_{V1}$ 与最小夹紧力 · VDI 2230 Blatt 1:2015, §5.5.2.4, Gl.(164)(166)(167) ✔

$$F_{V1}=A_0\sqrt{(R_{p0{,}2min}k_V)^2-3\left(k_\tau\frac{M_G}{W_{Ppl}}\right)^2}-F_{SAmax}+\Delta F_{Vth}^{*}-F_Z$$

代入：分支 (b) 拧紧超过屈服点（§5.5.2.3）

$\mu_{G\max} = 0.14$

$W = 51.6\,\text{mm}^3$, $k_V = 1.15$, $\tau_S = 181.5\,\text{N/mm}^2$

$F_{V1} = 31006\,\text{N}$（热项按式 (151)，VDI 2230 Blatt 1:2015，§5.5.2.1：0 N）

$F_{M0,2\min} = F_{MTab}(\mu_{G\max})/\nu_{Tab} = 21612/0.9 = 24013\,\text{N}$, $M_G = 18733\,\text{N}\cdot\text{mm}$

$F_{V1\min} = 22911\,\text{N}$（热项按式 (167)，符号规则与式 (151) 相反，VDI 2230 Blatt 1:2015，§5.5.2.4：0 N）

$F_{PA\max} = 4511\,\text{N}$

$F_{KR1\min} = 18399\,\text{N}$ 对比 $F_{Kerf} = 16267\,\text{N}$

未计入式 (157)/(161) 的弯曲项 $M_{Sbmax}$（偏心，与 R8 同样的简化）

◆ 对照量 超屈服后第一次加/卸载后的残余预紧力 $F_{V1}$ = 31006 N，例题值 31011，误差 -0.02 %（见「结果比对」[1]）

◆ 对照量 最小残余夹紧力 $F_{KR1min}$（超屈服后） = 18399 N，例题值 18276，误差 +0.67 %（见「结果比对」[1]）

◆ 对照量 超屈服后残余夹紧力：$F_{KR1min} \geq F_{Kerf}$（Gl.164） = 是，例题值 是，误差 一致（见「结果比对」）

步骤 22　R9：疲劳应力 $\sigma_{ab}$ 与 $S_D$（偏心） · VDI 2230 Blatt 1:2015, R9/2, Gl.(169), (188), (64), R9/4 ✔

$$\sigma_{SAb}=\left[1+\left(\frac{1}{\Phi^*_{en}}-\frac{s_{sym}}{a}\right)\frac{l_K}{l_{ers}}\frac{E_S}{E_P}\frac{\pi a d_S^3}{8\bar I_{Bers}}\right]\frac{\Phi^*_{en}F_A}{A_S}$$$$\ \sigma_{ab}=\frac{\sigma_{SAbo}-\sigma_{SAbu}}{2}$$$$\ S_D=\frac{\sigma_{AS}}{\sigma_{ab}}\geq1.0$$

代入：$1/\Phi^*_{en} - s_{sym}/a = 1/0.097750 - (0.500)/9.600$

$l_K/l_{ers} = 45.000/67.042$, $E_S/E_P = 210000/205000$, $\pi a d_S^3/(8\bar I_{Bers}) = \pi\cdot9.600\cdot6.827^3/(8\cdot2836)$ → 方括号项 $= 3.9601$

$\sigma_{SAb}/F_A =$ 方括号项 $\cdot\Phi^*_{en}/A_S = 1.0577e-02\,\text{mm}^{-2}$

$\sigma_{SAbo} = 52.883$, $\sigma_{SAbu} = 0.000$, $\sigma_{ab} = 26.441$ (N/mm²)

$\sigma_{AS} = 54.19$ (N/mm²)

$S_D = 2.05 \geq 1.2$ → ✅

所需 $S_D \ge 1.2$（推荐值 1.2，见 R9/4 的 [4]；安全系数由使用者设定）

若连接局部张开，建议改用附录 D 的 $F_{SAKl}/F_A$ 代替 $\Phi^*_{en}$（VDI 2230 Blatt 1:2015，§5.5.3，式 (188)；附录 D）——本计算器经 R3e 保证不张开，故不含附录 D

◆ 对照量 疲劳极限 $\sigma_{AS}$ = 54.19 N/mm²，例题值 54，误差 +0.35 %（见「结果比对」）

◆ 对照量 疲劳校核：$S_D$ 达到所需值（R9） = 是，例题值 是，误差 一致（见「结果比对」[2]）

步骤 23　R10：支承面压强校核（装配状态与工作状态） · VDI 2230, R10/3, Gl.(192), R10/2 (Gl.191), R10/4; Gl.129/193/194; §5.5.4; Anhang B, Beispiel B4, R10 ✔

$$A_{p\min} = \tfrac{\pi}{4}(d_{Wa}^2 - D_{Ki}^2)$$$$p_{\max} = 1.4\,\frac{F_{MTab}}{A_{p\min}}$$$$p_{B\max} = \frac{F_{V\max} + F_{SA\max} - \Delta F_{Vth}}{A_{p\min}} \le p_G$$

代入：头侧：$D_{Ki} = 9.00\,\text{mm}$, $d_{Wa} = 12.30\,\text{mm}$, $A_{p\min} = \tfrac{\pi}{4}(12.30^2 - 9.00^2) = 55.2\,\text{mm}^2$

$p_{\max} = 1.4\,F_{MTab}/A_{p\min} = 1.4 \cdot 23798/55.2 = 603.5\,\text{N/mm}^2$（R10/3，式 (192)）

$p_{B\max} = (26442 + 489 - 0)/55.2 = 487.8\,\text{N/mm}^2$

$F_{SA\max} = \Phi^*_{en} F_{A\max}$ ($\Phi^*_{en} = 0.097750$, R10/2)

头侧 $p_G = 990\,\text{N/mm}^2$（输入）：$S_p = 1.64$, $S_{pB} = 2.03$

螺母侧：$d_{WMu} = 11.6\,\text{mm}$（已输入），$D_{Ki,Mu} = 9.00\,\text{mm}$, $d_{Wa,Mu} = 11.60\,\text{mm}$, $A_{pMu,\min} = \tfrac{\pi}{4}(11.60^2 - 9.00^2) = 42.1\,\text{mm}^2$

$p_{Mu\max} = 792.0\,\text{N/mm}^2$

$p_{B\max,Mu} = 640.2\,\text{N/mm}^2$

螺母侧 $p_G = 990\,\text{N/mm}^2$（输入）：$S_p = 1.25$, $S_{pB} = 1.55$

控制侧：螺母侧

◆ 对照量 最小支承面积 $A_{p\min}$（头侧） = 55.2 mm²，例题值 55.2，误差 0.00 %（见「结果比对」）

◆ 对照量 最小支承面积 $A_{p\min}$（螺母侧） = 42.1 mm²，例题值 42.1，误差 0.00 %（见「结果比对」）

◆ 对照量 装配态支承面压强 $p_{M\max}$（头侧） = 603.5 N/mm²，例题值 603，误差 +0.08 %（见「结果比对」[1]）

◆ 对照量 装配态支承面压强 $p_{M\max}$（螺母侧） = 792 N/mm²，例题值 791，误差 +0.13 %（见「结果比对」[1]）

◆ 对照量 支承面压强安全系数 $S_P$（装配态，头侧） = 1.64，例题值 1.64，误差 0.00 %（见「结果比对」[1]）

◆ 对照量 支承面压强安全系数 $S_P$（装配态，螺母侧） = 1.25，例题值 1.25，误差 0.00 %（见「结果比对」[1]）

步骤 24　R12：滑移安全系数 $S_G$ · VDI 2230-1:2015, R12/4; §5.5.2.4 Gl.(164); Anhang B, Beispiel B4, R12 ✘

$$F_{KQ,erf} = \frac{F_{Q\max}}{q_F\,\mu_{T\min}} + \frac{M_{Y\max}}{q_M\,r_a\,\mu_{T\min}}$$$$S_G = \frac{F_{KR\min}}{F_{KQ,erf}} > 1.0$$

代入：$F_{KQ,erf} = 2440/(1 \cdot 0.15) = 16267\,\text{N}$

$F_{KR\min} = 18399\,\text{N}$ ($F_{KRmin}=F_{KR1min}$ (R8b)) → $S_G = 1.13$ ❌

所需 $S_G \ge 1.2$（静载，R12/4 的常用值；安全系数由使用者设定）

◆ 对照量 滑移安全系数 $S_G$ = 1.13，例题值 1.12，误差 +0.89 %（见「结果比对」[1]）

◆ 对照量 滑移校核：$S_G$ 达到所需值（R12） = 否，例题值 否，误差 一致（见「结果比对」）

结果比对

结果（单位） 例题值 MechCalc 误差 (%)
传递横向力所需的夹紧力 $F_{KQ}$（N）（步骤 6） 16267 16266.7 0.00
所需最小夹紧力 $F_{Kerf}$（N）（步骤 6） 16267 16266.7 0.00
防张开夹紧力 $F_{KA}$（N）（步骤 6） 13465 13465.2 0.00
螺栓柔度 $\delta_S$（mm/N）（步骤 7） $8.62\times10^{-6}$ $8.62419\times10^{-6}$ +0.05
被连接件柔度 $\delta_P$（mm/N）（步骤 9） $1.351\times10^{-6}$ $1.35034\times10^{-6}$ -0.05
变形锥惯性矩 $I_{Bers}^{V}$（mm⁴）（步骤 10） 2424.5 2424.5 0.00
计入偏心 $s_{sym}$ 的变形锥惯性矩 $I_{Bers}^{Ve}$（mm⁴）（步骤 10） 2492.4 2492.4 0.00
变形套筒惯性矩 $I_{Bers}^{H}$（mm⁴）（步骤 10） 3600 3600 0.00
变形体等效惯性矩 $I_{Bers}$（mm⁴）（步骤 10） 3157.8 3158.1 +0.01
偏心夹紧的被连接件柔度 $\delta_P^{*}$（mm/N）（步骤 10） $1.368\times10^{-6}$ $1.36771\times10^{-6}$ -0.02
偏心夹紧与偏心受载的被连接件柔度 $\delta_P^{**}$（mm/N）（步骤 10） $1.685\times10^{-6}$ $1.68398\times10^{-6}$ -0.06
载荷系数（力比）$\Phi$（步骤 12） 0.098 0.0977 -0.31
嵌入量 $f_Z$（螺纹）（μm）（步骤 13） 3 3 0.00
嵌入量 $f_Z$（每个支承面）（μm）（步骤 13） 3 3 0.00
嵌入量 $f_Z$（每个内分界面）（μm）（步骤 13） 2 2 0.00
嵌入量 $f_Z$（μm）（步骤 13） 11 11 0.00
嵌入导致的预紧力损失 $F_Z$（N）（步骤 13） 1103 1103 0.00
最小装配预紧力 $F_{M\min}$（N）（步骤 14） 21880 21881 0.00
最大装配预紧力 $F_{Mmax}$（N）（步骤 15） 21880 21881 0.00
相关截面积 $A_0$（mm²）（步骤 16） 26.6 26.603 +0.01
最小支承面积 $A_{p\min}$（头侧）（mm²）（步骤 23） 55.2 55.2 0.00
最小支承面积 $A_{p\min}$（螺母侧）（mm²）（步骤 23） 42.1 42.1 0.00
疲劳极限 $\sigma_{AS}$（N/mm²）（步骤 22） 54 54.19 +0.35
表值装配预紧力 $F_{MTab}$（N）（步骤 17） 23800 23798 -0.01 [1]
许用装配预紧力 $F_{Mzul}$（N）（步骤 16） 26444 26442 -0.01 [1]
装配态支承面压强 $p_{M\max}$（头侧）（N/mm²）（步骤 23） 603 603.5 +0.08 [1]
装配态支承面压强 $p_{M\max}$（螺母侧）（N/mm²）（步骤 23） 791 792 +0.13 [1]
支承面压强安全系数 $S_P$（装配态，头侧）（步骤 23） 1.64 1.64 0.00 [1]
支承面压强安全系数 $S_P$（装配态，螺母侧）（步骤 23） 1.25 1.25 0.00 [1]
超屈服后第一次加/卸载后的残余预紧力 $F_{V1}$（N）（步骤 21） 31011 31006 -0.02 [1]
最小残余夹紧力 $F_{KR1min}$（超屈服后）（N）（步骤 21） 18276 18399 +0.67 [1]
滑移安全系数 $S_G$（步骤 24） 1.12 1.13 +0.89 [1]
超屈服后残余夹紧力：$F_{KR1min} \geq F_{Kerf}$（Gl.164）（步骤 21） 是 是 一致
滑移校核：$S_G$ 达到所需值（R12）（步骤 24） 否 否 一致
疲劳校核：$S_D$ 达到所需值（R9）（步骤 22） 是 是 一致 [2]
  • [1] 本条偏差来自原文对两条 $\mu_G$ 链都取 Tabelle A2 的取整表值（§5.5.1，第 86 页：取整误差不大于 ±2.5 %，本例 $\mu_G = 0.14$ 列为 0.52 %），计算器按 Gl.(143)(144) 自算、不取整，两侧判定相同。另原文第 156 页 R8 求 $F_{V1\min}$ 与 $F_{KR1\min}$ 时分别引「Gleichung (181)」与「(179)」，而第 95 页的 Gl.(181)、(179) 是弯矩分配式与 $\gamma_S = \gamma_P = \gamma$，应引 Gl.(166) 与 Gl.(164)（§5.5.2.4，第 91 页，计算器的白盒步骤也引这两式）；这只是引注笔误，原文 22 786 N 与 18 276 N 本按这两式算出，数值与合格结论都不受影响。
  • [2] 原文第 156 页 R9 印等效弯曲长度 $l_{ers} = 65.98$ mm，按原文自印的 Gl.(34)(35) 代入 Bild B6 尺寸应为 67.04 mm；同页 $\bar I_{Bers}$ 括号内印 $3157.8 - 322$、得数却印 2837.8 mm⁴，按 Gl.(64) 应为 2835.74 mm⁴。二者经 Gl.(188) 传到 $\sigma_{SAbo}$、$\sigma_{ab}$ 与 $S_D$，故疲劳只对照「$S_D$ 达到所需值 1.2」的判定；改正后 $\sigma_{ab} = 26.46$ N/mm²、$S_D = 54/26.46 = 2.04$，与计算器 2.05 的余差来自第 157 页 $\sigma_{AS}$ 印 54 N/mm² 的取整（按 R9/5-1 为 54.19）。两侧 $S_D$ 都大于 1.2，合格结论不变。