出处：Verein Deutscher Ingenieure. (2015). VDI 2230 Blatt 1 / Part 1: Systematische Berechnung hochbeanspruchter Schraubenverbindungen – Zylindrische Einschraubenverbindungen（Ausg. deutsch/englisch, 2015-11）. Düsseldorf: VDI; Berlin: Beuth. Anhang B, Beispiel B3 Berechnung einer Schwungradbefestigung mit Zentralschraube als Beispiel für eine Schraubenbelastung mit Torsionsschub（飞轮中心螺栓固定：螺栓受扭转剪切算例），第 142–149 页，Bild B3、Tabelle B1

计算器：VDI 2230-1 单螺栓连接计算 ，一键载入本题输入，点「执行计算」即可复算。

题目

飞轮用一颗特制六角空心螺栓 M27×2、8.8 级固定在曲轴端部：螺栓杆外径 24 mm、内孔 16 mm，经 1.5 mm 厚的 E 295 垫圈压紧飞轮，拧入曲轴端部的内螺纹（螺纹孔连接），夹紧长度 $l_K = 16$ mm。连接须靠摩擦传递 110 N·m 扭矩，计算偏安全地假定扭矩全部经曲轴端面上内径 30 mm、外径 48 mm 的接触环传入飞轮。飞轮与曲轴均为 16MnCr5，没有轴向工作载荷，用测量式精密扭矩扳手拧紧（第 142–145 页）。

用中心螺栓固定飞轮 用中心螺栓固定飞轮（来源：VDI 2230 Blatt 1:2015, Bild B3, 第 143 页）

输入参数

本题的几何输入 本题的几何输入（据 mechCalc 计算器载入本题绘制）

名称 符号 取值
被夹件分层 1，弹性模量 $E_{P}$ 205000 N/mm²
被夹件分层 1，材料 — E295
被夹件分层 2，弹性模量 $E_{P}$ 205000 N/mm²
被夹件分层 3，弹性模量 $E_{P}$ 205000 N/mm²
内螺纹件抗拉强度 $R_{mM}$ 1000 N/mm²
强度等级 — 8.8
屈服强度 $R_{p0{,}2}$ 660 N/mm²
抗拉强度 $R_m$ 830 N/mm²
弹性模量 $E_S$ 205000 N/mm²
内螺纹件弹性模量（可选） $E_{BI}$ 205000 N/mm²
螺栓规格 $d$ M27
细牙螺距（可选） $P$ 2 mm
产品数据的支承面外径 $d_W$ 36 mm
特制头头高（仅供示意图） $k$ 10 mm
空心螺栓内孔径 $d_b$ 16 mm
被夹件分层 1，厚度 $h$ 1.5 mm
被夹件分层 2，厚度 $h$ 7 mm
被夹件分层 3，厚度 $h$ 7.5 mm
分界面等效外径 $D_A$ 48 mm
基本体等效外径（可选） $D_A'$ 72 mm
通孔直径 $d_h$ 29 mm
实际可用旋合深度（可选） † $m_{eff,vorh}$ 16 mm
螺栓分段 1，长度 $l$ 16 mm
螺栓分段 1，直径 $d$ 24 mm
头侧支承面内径（可选） $D_{Ki}$ 28 mm
内螺纹周围材料等效直径 $s$ 50 mm
外螺纹大径下极限 $d_{min}$ 26.682 mm
外螺纹中径下极限 $d_{2min}$ 25.493 mm
内螺纹小径上极限 $D_{1max}$ 25.21 mm
扭矩 $M_Y$ 的摩擦半径（$M_Y>0$ 时必填） $r_a$ 19.5 mm
轴向载荷 $F_A$ 0 N
横向载荷 $F_Q$ 0 N
载荷导入系数 $n$ 1
绕螺栓轴线扭矩 $M_Y$ 110000 N·mm
所需残余夹紧力 $F_{KR,req}$ 0 N
最小轴向载荷 $F_{A,min}$ 0 N
计算模式 — 校核模式（指定规格）
连接类型 — TTJ — 螺纹孔连接
螺栓头型 — 特制头（自填承压外径）
被夹件柔度按通孔连接（TBJ）近似 — 否
螺栓分段 1，段类型 — 自定义 $d$
螺纹摩擦系数 $\mu_{G,min}$ 0.12
头部摩擦系数 $\mu_{K,min}$ 0.1
分界面摩擦系数 $\mu_{T,min}$ 0.1
滑移分界面数 † $q_F$ 1
传矩分界面数 $q_M$ 1
拧紧方法 — 扭矩控制法（αA 按 Tabelle A8，默认 1.6）
拧紧系数 $\alpha_A$ 1.6
利用率 $\nu$ 0.9
嵌入量取法 — 按 Tabelle 5 累加
表面粗糙度 $R_z$ 10 ≤ Rz < 40 μm
载荷方向（Tabelle 5） — 剪切
内分界面数 — 2
考虑温度影响 — 否
疲劳校核 — 否

† 原文未给：实际可用旋合深度 $m_{eff,vorh} = 16$ mm，取可用螺纹长度 $l_4 = 20$ mm 减去 $2P = 4$ mm（Tabelle B1，第 143 页；扣 $2P$ 同 Gl.(208)）；原文 R11 用的是扣去约 1.5 mm 倒角后的螺纹接触长度 18.5 mm（第 148 页），两种取法下旋合深度都足够。滑移分界面数 $q_F = 1$ 取计算器默认值；本题横向载荷为 0，它不影响任何对照量与判定。

计算过程

预紧力（R1–R6）

步骤 5　R2：所需最小夹紧力 $F_{Kerf}$ · VDI 2230, R2/1~R2/4 (Gl.108/109/111)

$$F_{KQ} = \frac{F_{Q\max}}{q_F\,\mu_{T\min}} + \frac{M_{Y\max}}{q_M\, r_a\, \mu_{T\min}}$$$$F_{Kerf} \geq \max(F_{KQ};\; F_{KP};\; F_{KR,req})$$

代入：$F_{KQ} = 110000/(1 \cdot 19.5 \cdot 0.1) = 56410\,\text{N}$（摩擦传力）

$F_{KP} = 0\,\text{N}$（密封）

$F_{KR,req} = 0\,\text{N}$（指定值）

$F_{Kerf} = 56410\,\text{N}$

◆ 对照量 所需最小夹紧力 $F_{Kerf}$ = 56410.3 N，例题值 56400，误差 +0.02 %（见「结果比对」[1]）

步骤 6　R3a：螺栓轴向柔度 $\delta_S$ · VDI 2230 Blatt 1:2015, §5.1.1.1, Bild 6, Gl.(18)(19)

$$\delta_S = \delta_{SK} + \sum_i \frac{l_i}{E_S A_i} + \delta_{GM}$$$$\delta_i = \frac{l_i}{E_S A_i}$$

代入：1 段：$\delta_{1} = 3.105 \times 10^{-7}$（$l = 16\,\text{mm}$，自定义，$d = 24.000\,\text{mm}$，$A_i = \pi/4\,(d_i^2 - d_b^2)$（式 (18)，空心））

$\delta_{SK} = 1.773 \times 10^{-7}$, $\delta_{GM} = 3.179 \times 10^{-7}$ → $\delta_S = 8.0570 \times 10^{-7}\,\text{mm/N}$（头型：特制头）

$\delta_M$ 取 $E_M = E_{BI} = 205000\,\text{N/mm}^2$

$l_{SK} = 0.5\,d$（式 (30)）针对通孔的中等系列（DIN EN 20273）

请对照该系列核对所输入的 $d_h$

◆ 对照量 螺栓柔度 $\delta_S$ = $8.05696\times10^{-7}$ mm/N，例题值 $8.0566\times10^{-7}$，误差 0.00 %（见「结果比对」[1]）

步骤 11　R4：预紧力变化 · VDI 2230-1:2015, §5.4.2.1, Tabelle 5

$$f_Z = \frac{f_{Z,thread} + n_{bearing} f_{Z,bearing} + n_{inner} f_{Z,inner}}{1000}$$$$F_Z = \frac{f_Z}{\delta_S + \delta_P}$$

代入：表 5，$10 \leq R_z < 40\,\mu\text{m}$，剪切：螺纹 3 μm

支承面 1 × 4.5 μm

内分界面 2 × 2.5 μm

合计 12.5 μm = 0.0125 mm

$F_Z = 0.0125 / 9.1377 \times 10^{-7} = 13680\,\text{N}$

表 5 仅适用于无涂层的实心钢制零件

铝制零件的嵌入量更大（例如螺纹孔连接的螺纹处取 10 μm 而非 5 μm）（VDI 2230-1 §5.4.2.1）

超过表 A9 的极限支承面压强 $p_G$ 后，表 5 的数值不再有效

对于多层薄板叠层，应通过试验测定 $F_Z$（VDI 2230-1 §5.4.2.1）

◆ 对照量 嵌入量 $f_Z$ = 12.5 μm，例题值 12.5，误差 0.00 %（见「结果比对」[1]）

◆ 对照量 嵌入导致的预紧力损失 $F_Z$ = 13680 N，例题值 13700，误差 -0.15 %（见「结果比对」[2]）

步骤 12　R5：最小装配预紧力 $F_{M\min}$ · VDI 2230, R5/1

$$F_{M\min} = F_{Kerf} + (1-\Phi)\cdot F_A + F_Z + \Delta F'_{Vth}$$

代入：$F_{M\min} = 56410 + (1-0.2013) \cdot 0 + 13680 + 0 = 70090\,\text{N}$

◆ 对照量 最小装配预紧力 $F_{M\min}$ = 70090 N，例题值 70100，误差 -0.01 %（见「结果比对」[2]）

步骤 13　R6：最大装配预紧力 $F_{M\max}$ · VDI 2230, R6/1

$$F_{M\max} = \alpha_A \cdot F_{M\min}$$

代入：$F_{M\max} = 1.60 \cdot 70090 = 112144\,\text{N}$

◆ 对照量 最大装配预紧力 $F_{Mmax}$ = 112144 N，例题值 112200，误差 -0.05 %（见「结果比对」[2]）

校核（R7–R13）

步骤 14　R7：许用装配预紧力 $F_{Mzul}$ · VDI 2230 Blatt 1:2015, Anhang B, Beispiel B3, R7; Gl.(140), (143), (144)

$$F_{Mzul} = A_0 \cdot \frac{\nu \cdot R_{p0{,}2}}{\sqrt{1+3\left[\frac{3}{2}\frac{d_2\left(d_0^2-d_b^2\right)}{d_0^3-d_b^3}\left(\frac{P}{\pi d_2}+1.155\mu_{G\min}\right)\right]^2}}$$

代入：$d_0 = d_i = 24.000\,\text{mm}$（最弱段）

$A_0 = \frac{\pi}{4}(24.000^2 - 16.000^2) = 251.33\,\text{mm}^2$（空心）

缩颈螺栓：按 §5.5.1 取 $d_0 = d_{i,min}$

$\nu = 0.9$, $R_{p0,2} = 660.0\,\text{N/mm}^2$ → $F_{Mzul} = 140516\,\text{N}$

空心螺栓：公式由 VDI 2230 Blatt 1:2015 附录 B 算例 B3 的 R7 参照式 (140) 推得——非正文公式

◆ 对照量 相关截面积 $A_0$ = 251.327 mm²，例题值 251，误差 +0.13 %（见「结果比对」[1]）

◆ 对照量 许用装配预紧力 $F_{Mzul}$ = 140516 N，例题值 140300，误差 +0.15 %（见「结果比对」[1]）

步骤 18　R10：支承面压强校核（装配状态与工作状态） · VDI 2230, R10/1 (Gl.190), R10/2 (Gl.191), R10/4; Gl.129/193/194; §5.5.4 ✔

$$A_{p\min} = \tfrac{\pi}{4}(d_{Wa}^2 - D_{Ki}^2)$$$$p_{M\max} = \frac{F_{Mzul}}{A_{p\min}}$$$$p_{B\max} = \frac{F_{V\max} + F_{SA\max} - \Delta F_{Vth}}{A_{p\min}} \le p_G$$

代入：$D_{Ki} = 28.00\,\text{mm}$

$D_{Ki} < d_h$：螺栓头支承在孔径较小的零件上（例如垫圈），$d_{Wa} = 36.00\,\text{mm}$, $A_{p\min} = \tfrac{\pi}{4}(36.00^2 - 28.00^2) = 402.1\,\text{mm}^2$

$p_{M\max} = 349.4\,\text{N/mm}^2$（R10/1（式 (190)））

$p_{B\max} = (140516 + 0 - 0)/402.1 = 349.4\,\text{N/mm}^2$

头侧 $p_G = 710\,\text{N/mm}^2$（表 A9（E295））：$S_p = 2.03$, $S_{pB} = 2.03$

◆ 对照量 最小支承面积 $A_{p\min}$（头侧） = 402.1 mm²，例题值 402.1，误差 0.00 %（见「结果比对」[1]）

◆ 对照量 装配态支承面压强 $p_{M\max}$（头侧） = 349.4 N/mm²，例题值 348.9，误差 +0.14 %（见「结果比对」[1]）

◆ 对照量 装配态支承面压强安全系数 $S_P$ = 2.03，例题值 2，误差 +1.50 %（见「结果比对」[1]）

◆ 对照量 装配态支承面压强校核：$S_P$ 达到所需值（R10） = 是，例题值 是，误差 一致（见「结果比对」）

步骤 19　R11a：强度比 $R_S$ 与临界螺纹 · VDI 2230 Blatt 1:2015, §5.5.5, Gl.(199)

$$R_S=\frac{d[P/2+(d-D_2)\tan30°]}{D_1[P/2+(d_2-D_1)\tan30°]}\cdot\frac{R_{mM}}{R_{mS}}$$

代入：$R_S = 1.5282$ → 螺栓螺纹临界（§5.5.5.2）

$s/d = 1.852$ → 式 (201)

$C_2 = 1.1146$（式 (211)）

◆ 对照量 强度比 $R_S$ = 1.5282，例题值 1.52，误差 +0.54 %（见「结果比对」[1]）

◆ 对照量 修正系数 $C_2$（螺栓螺纹） = 1.1146，例题值 1.1，误差 +1.33 %（见「结果比对」[1]）

步骤 20　R11c：所需旋合深度（螺栓螺纹临界） · VDI 2230 Blatt 1:2015, §5.5.5.2, Gl.(211)–(213), Tabelle 7

$$m_{ges,min}=\frac{F_{mS}P}{C_1C_2\tau_{BS,min}[P/2+(d_{2min}-D_{1max})\tan30°]\pi d_{min}}+2P$$

代入：空心螺栓：$R_{m,max}A_S := F_{Mzul}$（附录 B，算例 B3）

$\tau_{BS,min} = 0.65\times830.0 = 539.5\,\text{N/mm}^2$（表 7）

$m_{ges,\min} = 8.803\,\text{mm}$, $m_{eff,\min} = m_{ges,\min} - 2P = 4.803\,\text{mm}$

空心螺栓：§5.5.5 适用于实心杆螺栓，旋合深度只能估算，只有实际试验才能确证（VDI 2230 Blatt 1:2015，附录 B，算例 B3，R11）

◆ 对照量 修正系数 $C_1$ = 0.9977，例题值 1，误差 -0.23 %（见「结果比对」[1]）

◆ 对照量 R11 所用螺纹最小抗剪强度 $\tau_{BS,\min}$ 或 $\tau_{BM,\min}$（取先坏的一侧） = 539.5 N/mm²，例题值 540，误差 -0.09 %（见「结果比对」[1]）

步骤 21　R11：旋合深度校核（螺纹孔连接） · VDI 2230, R11/1, Bild 36 ✔

$$m_{eff,vorh} \geq m_{eff,\min}$$

代入：$m_{eff,\min} = 4.803\,\text{mm}$（解析法，已给公差极限，见上方 R11b/R11c）

$m_{eff,vorh} = 16.0\,\text{mm}$ → 足够

◆ 对照量 旋合深度校核：实有旋合深度 $m_{eff,vorh}$ 达到所需值（R11） = 是，例题值 是，误差 一致（见「结果比对」[3]）

步骤 22　R12：滑移安全系数 $S_G$ · VDI 2230 Blatt 1:2015, R12/1, R12/2 (Gl.108), R12/4 ✔

$$F_{KQ,erf} = \frac{F_{Q\max}}{q_F\,\mu_{T\min}} + \frac{M_{Y\max}}{q_M\,r_a\,\mu_{T\min}}$$$$S_G = \frac{F_{KR\min}}{F_{KQ,erf}} > 1.0$$

代入：$F_{KQ,erf} = 110000/(1 \cdot 19.5 \cdot 0.1) = 56410\,\text{N}$

$F_{KR\min} = 74143\,\text{N}$ → $S_G = 1.31$ ✅

所需 $S_G \ge 1.2$（静载，R12/4 的常用值；安全系数由使用者设定）

◆ 对照量 最小残余夹紧力 $F_{KR\min}$ = 74143 N，例题值 74000，误差 +0.19 %（见「结果比对」[2]）

◆ 对照量 滑移安全系数 $S_G$ = 1.31，例题值 1.31，误差 0.00 %（见「结果比对」[2]）

◆ 对照量 滑移校核：$S_G$ 达到所需值（R12） = 是，例题值 是，误差 一致（见「结果比对」[3]）

步骤 23　R13：拧紧力矩 $M_A$ · VDI 2230, R13/1 (Gl.127), Gl.128/129

$$D_{Km} = \frac{d_W + D_{Ki}}{2}$$$$M_A = F_{Mzul}\left[0.16P + 0.58 d_2 \mu_{G\min} + \frac{D_{Km}}{2}\mu_{K\min}\right]$$

代入：$D_{Km} = (36.00 + 28.00)/2 = 32.00\,\text{mm}$

$M_A = 140516 \cdot [0.16 \cdot 2.0 + 0.58 \cdot 25.701 \cdot 0.12 + 32.00/2 \cdot 0.1] = 521142\,\text{N}\cdot\text{mm} = 521.1\,\text{N}\cdot\text{m}$

◆ 对照量 摩擦有效直径 $D_{Km}$ = 32 mm，例题值 32，误差 0.00 %（见「结果比对」[1]）

◆ 对照量 拧紧力矩 $M_A$ = 521142 N·mm，例题值 520000，误差 +0.22 %（见「结果比对」[1]）

结果比对

结果（单位） 例题值 MechCalc 误差 (%)
所需最小夹紧力 $F_{Kerf}$（N）（步骤 5） 56400 56410.3 +0.02 [1]
螺栓柔度 $\delta_S$（mm/N）（步骤 6） $8.0566\times10^{-7}$ $8.05696\times10^{-7}$ 0.00 [1]
相关截面积 $A_0$（mm²）（步骤 14） 251 251.327 +0.13 [1]
许用装配预紧力 $F_{Mzul}$（N）（步骤 14） 140300 140516 +0.15 [1]
最小支承面积 $A_{p\min}$（头侧）（mm²）（步骤 18） 402.1 402.1 0.00 [1]
装配态支承面压强 $p_{M\max}$（头侧）（N/mm²）（步骤 18） 348.9 349.4 +0.14 [1]
装配态支承面压强安全系数 $S_P$（步骤 18） 2 2.03 +1.50 [1]
强度比 $R_S$（步骤 19） 1.52 1.5282 +0.54 [1]
修正系数 $C_1$（步骤 20） 1 0.9977 -0.23 [1]
修正系数 $C_2$（螺栓螺纹）（步骤 19） 1.1 1.1146 +1.33 [1]
R11 所用螺纹最小抗剪强度 $\tau_{BS,\min}$ 或 $\tau_{BM,\min}$（取先坏的一侧）（N/mm²）（步骤 20） 540 539.5 -0.09 [1]
摩擦有效直径 $D_{Km}$（mm）（步骤 23） 32 32 0.00 [1]
拧紧力矩 $M_A$（N·mm）（步骤 23） 520000 521142 +0.22 [1]
嵌入量 $f_Z$（μm）（步骤 11） 12.5 12.5 0.00 [1]
嵌入导致的预紧力损失 $F_Z$（N）（步骤 11） 13700 13680 -0.15 [2]
最小装配预紧力 $F_{M\min}$（N）（步骤 12） 70100 70090 -0.01 [2]
最大装配预紧力 $F_{Mmax}$（N）（步骤 13） 112200 112144 -0.05 [2]
最小残余夹紧力 $F_{KR\min}$（N）（步骤 22） 74000 74143 +0.19 [2]
滑移安全系数 $S_G$（步骤 22） 1.31 1.31 0.00 [2]
装配态支承面压强校核：$S_P$ 达到所需值（R10）（步骤 18） 是 是 一致
旋合深度校核：实有旋合深度 $m_{eff,vorh}$ 达到所需值（R11）（步骤 21） 是 是 一致 [3]
滑移校核：$S_G$ 达到所需值（R12）（步骤 22） 是 是 一致 [3]
  • [1] 原文第 148 页 R11 判螺栓螺纹为薄弱侧后，写按 Gleichungen (200)、(210)、(212) 继续计算；主文中 $C_1$ 是 Gl.(201)，$R_S = 1.52$ 时 $C_2$ 应按 Gl.(211)（适用于 $1 < R_S < 2.2$，Gl.(212) 只用于 $R_S \ge 2.2$）。原文实际代入的正是 Gl.(211) 的多项式，得 $C_2 = 1.1$，这只是引注笔误，数值与合格结论都不受影响。
  • [2] 原文第 145 页 R3 印 $\delta_P = 0.1055\cdot10^{-6}$ mm/N，按同页所印的 $E_P = 2.05\cdot10^5$ N/mm² 代入 Gl.(41) 应为 $0.1081\cdot10^{-6}$（+2.4 %），印数相当于取 $E_P = 2.1\cdot10^5$；第 146 页 R4 又代入 $0.10557\cdot10^{-6}$。故 $\delta_P$ 不作例题值；本条各量由它传下，$F_Z$ 因此约差 0.3 %，其余更小，结论不变。同页判变形体形状时引 Gleichung (29)，主文该判据是 Gl.(39)，只是引注笔误。第 148 页 R12 英文栏印 $S_G = 1.33$，德文栏 1.31 与 $74/56.4 = 1.31$ 相符，例题值取德文栏。另 Tabelle B1（第 143 页）被夹件行印 $D_A = 72$ mm，应为 $D'_A$，R3 正是按 $D'_A = 72$ mm 计算。
  • [3] 原文第 148 页 R11 求 $m_{ges,min}$ 时末项印 $+1.2\cdot P$，得 7.25 mm；主文 §5.5.5 的 Gl.(213) 末项为 $+2P$，按此约为 8.8 mm，原文没有说明为何改用 1.2P。计算器按 Gl.(213) 计算，两侧都远小于现有旋合长度，结论同为合格。