出处：Verein Deutscher Ingenieure. (2015). VDI 2230 Blatt 1 / Part 1: Systematische Berechnung hochbeanspruchter Schraubenverbindungen – Zylindrische Einschraubenverbindungen（Ausg. deutsch/englisch, 2015-11）. Düsseldorf: VDI; Berlin: Beuth. Anhang B, Beispiel B2 Berechnung der Schraubenverbindung einer starren Kupplung als Beispiel für eine durch Querkraft belastete Schraube（刚性联轴器的螺栓连接：受横向力螺栓算例），第 136–142 页，Bild B2

计算器：VDI 2230-1 单螺栓连接计算 ，一键载入本题输入，点「执行计算」即可复算。

题目

一台刚性盘式联轴器的两个半体（EN-GJL-250）沿节圆 $D_t = 258$ mm 用 12 颗六角头螺栓加螺母连接（通孔连接），两个转向都要靠摩擦传递最大扭矩 $M_{T\max} = 13\,000$ N·m，折合每颗螺栓的横向载荷 $F_{Q\max} = 8.4$ kN，没有轴向工作载荷。凸缘内径 178 mm、外径 338 mm，两半体各厚 30 mm，夹紧长度 $l_K = 60$ mm；GJL 对 GJL 的最小静摩擦系数取 0.15，接触面 $Rz < 10$ µm。螺栓为 M16、10.9 级，用发信号的扭矩扳手拧紧（第 136–138 页）。

盘式联轴器的螺栓连接 盘式联轴器的螺栓连接（来源：VDI 2230 Blatt 1:2015, Bild B2, 第 137 页）

输入参数

本题的几何输入 本题的几何输入（据 mechCalc 计算器载入本题绘制）

名称 符号 取值
被夹件分层 1，弹性模量 $E_{P}$ 110000 N/mm²
被夹件分层 1，材料 — GJL-250
强度等级 — 10.9
屈服强度 † $R_{p0{,}2}$ 940 N/mm²
抗拉强度 $R_m$ 1000 N/mm²
弹性模量 $E_S$ 205000 N/mm²
螺栓规格 $d$ M16
产品数据的支承面外径 $d_W$ 22.5 mm
被夹件分层 1，厚度 $h$ 60 mm
分界面等效外径 $D_A$ 99 mm
通孔直径 $d_h$ 17 mm
夹紧光杆段长 $l_1$ 42 mm
头侧支承面内径（可选） $D_{Ki}$ 17.7 mm
抗剪截面直径（可选） $d_\tau$ 16 mm
轴向载荷 $F_A$ 0 N
横向载荷 $F_Q$ 8400 N
载荷导入系数 † $n$ 0.5
所需残余夹紧力 $F_{KR,req}$ 0 N
计算模式 — 校核模式（指定规格）
连接类型 — TBJ — 通孔连接
螺栓头型 — 六角头（ISO 4014）
被夹件柔度按通孔连接（TBJ）近似 — 自动（按 D_A ≤ 1.4 d_W 判定）
螺纹摩擦系数 $\mu_{G,min}$ 0.12
头部摩擦系数 $\mu_{K,min}$ 0.12
分界面摩擦系数 $\mu_{T,min}$ 0.15
滑移分界面数 $q_F$ 1
拧紧系数 $\alpha_A$ 1.6
利用率 $\nu$ 0.9
嵌入量取法 — 按 Tabelle 5 累加
表面粗糙度 $R_z$ Rz < 10 μm
载荷方向（Tabelle 5） — 剪切
内分界面数 — 1
考虑温度影响 — 否
疲劳校核 — 否

† 原文未给：螺栓屈服强度 $R_{p0,2} = 940$ N/mm²，取 10.9 级的最小值（DIN EN ISO 898-1:2013-05, 7, Table 3）；原文的许用装配预紧力直接取 Tabelle A1 中按这一最小屈服强度 90 % 利用的表值（第 141 页 R7）。载荷导入系数 $n = 0.5$ 取计算器默认值；本题轴向载荷 $F_A = 0$（第 137 页 R0），它不影响任何对照量与判定。

计算过程

预紧力（R1–R6）

步骤 4　R2：所需最小夹紧力 $F_{Kerf}$ · VDI 2230, R2/1~R2/4 (Gl.108/109/111)

$$F_{KQ} = \frac{F_{Q\max}}{q_F\,\mu_{T\min}} + \frac{M_{Y\max}}{q_M\, r_a\, \mu_{T\min}}$$$$F_{Kerf} \geq \max(F_{KQ};\; F_{KP};\; F_{KR,req})$$

代入：$F_{KQ} = 8400/(1 \cdot 0.15) = 56000\,\text{N}$（摩擦传力）

$F_{KP} = 0\,\text{N}$（密封）

$F_{KR,req} = 0\,\text{N}$（指定值）

$F_{Kerf} = 56000\,\text{N}$

◆ 对照量 所需最小夹紧力 $F_{Kerf}$ = 56000 N，例题值 56000，误差 0.00 %（见「结果比对」）

步骤 5　R3a：螺栓轴向柔度 $\delta_S$ · VDI 2230 Blatt 1:2015, §5.1.1.1, Gl.(19)

$$\delta_S = \delta_{SK} + \delta_1 + \delta_{Gew} + \delta_{GM}$$

代入：$\delta_S = 2.2484 \times 10^{-6}\,\text{mm/N}$（$l_1 = 42.0\,\text{mm}$，$l_{Gew} = 18.0\,\text{mm}$，头型：六角头）

$l_{SK} = 0.5\,d$（式 (30)）针对通孔的中等系列（DIN EN 20273）

请对照该系列核对所输入的 $d_h$

◆ 对照量 螺栓柔度 $\delta_S$ = $2.24839\times10^{-6}$ mm/N，例题值 $2.249\times10^{-6}$，误差 -0.03 %（见「结果比对」）

步骤 6　R3b：被连接件柔度 $\delta_P$ · VDI 2230 Blatt 1:2015, §5.1.2.1, Gl.(40)

$$\delta_P=\frac{2\ln\left[\frac{(d_W+d_h)(d_W+w l_K\tan\varphi-d_h)}{(d_W-d_h)(d_W+w l_K\tan\varphi+d_h)}\right]}{w E_P\pi d_h\tan\varphi}$$

代入：分支 ② 仅锥体（$D_A \geq D_{A,Gr}$）

$d_W = 22.50$, $D_A = 99.0$, $d_h = 17.0$, $w = 1$, $\tan\varphi = 0.5979$, $D_{A,Gr} = 58.37$ (mm) → $\delta_P = 7.8106 \times 10^{-7}\,\text{mm/N}$

◆ 对照量 被连接件柔度 $\delta_P$ = $7.81065\times10^{-7}$ mm/N，例题值 $7.81\times10^{-7}$，误差 +0.01 %（见「结果比对」）

步骤 9　R4：预紧力变化 · VDI 2230-1:2015, §5.4.2.1, Tabelle 5

$$f_Z = \frac{f_{Z,thread} + n_{bearing} f_{Z,bearing} + n_{inner} f_{Z,inner}}{1000}$$$$F_Z = \frac{f_Z}{\delta_S + \delta_P}$$

代入：表 5，$R_z < 10\,\mu\text{m}$，剪切：螺纹 3 μm

支承面 2 × 3 μm

内分界面 1 × 2 μm

合计 11 μm = 0.011 mm

$F_Z = 0.011 / 3.0295 \times 10^{-6} = 3631\,\text{N}$

表 5 仅适用于无涂层的实心钢制零件

铝制零件的嵌入量更大（例如螺纹孔连接的螺纹处取 10 μm 而非 5 μm）（VDI 2230-1 §5.4.2.1）

超过表 A9 的极限支承面压强 $p_G$ 后，表 5 的数值不再有效

对于多层薄板叠层，应通过试验测定 $F_Z$（VDI 2230-1 §5.4.2.1）

◆ 对照量 嵌入导致的预紧力损失 $F_Z$ = 3631 N，例题值 3630，误差 +0.03 %（见「结果比对」）

◆ 对照量 嵌入量 $f_Z$ = 11 μm，例题值 11，误差 0.00 %（见「结果比对」）

步骤 10　R5：最小装配预紧力 $F_{M\min}$ · VDI 2230, R5/1

$$F_{M\min} = F_{Kerf} + (1-\Phi)\cdot F_A + F_Z + \Delta F'_{Vth}$$

代入：$F_{M\min} = 56000 + (1-0.1289) \cdot 0 + 3631 + 0 = 59631\,\text{N}$

◆ 对照量 最小装配预紧力 $F_{M\min}$ = 59631 N，例题值 59630，误差 0.00 %（见「结果比对」）

步骤 11　R6：最大装配预紧力 $F_{M\max}$ · VDI 2230, R6/1

$$F_{M\max} = \alpha_A \cdot F_{M\min}$$

代入：$F_{M\max} = 1.60 \cdot 59631 = 95410\,\text{N}$

◆ 对照量 最大装配预紧力 $F_{Mmax}$ = 95410 N，例题值 95408，误差 0.00 %（见「结果比对」）

校核（R7–R13）

步骤 12　R7：许用装配预紧力 $F_{Mzul}$ · VDI 2230, R7/2

$$F_{Mzul} = A_0 \cdot \frac{\nu \cdot R_{p0{,}2}}{\sqrt{1+3\left[\frac{3}{2}\frac{d_2}{d_0}\left(\frac{P}{\pi d_2}+1.155\mu_{G\min}\right)\right]^2}}$$

代入：$A_0 = 156.7\,\text{mm}^2$, $\nu = 0.9$, $R_{p0,2} = 940.0\,\text{N/mm}^2$ → $F_{Mzul} = 118928\,\text{N}$

◆ 对照量 许用装配预紧力 $F_{Mzul}$ = 118928 N，例题值 118800，误差 +0.11 %（见「结果比对」）

步骤 16　R10：支承面压强校核（装配状态与工作状态） · VDI 2230, R10/1 (Gl.190), R10/2 (Gl.191), R10/4; Gl.129/193/194; §5.5.4; Anhang B, Beispiel B4, R10 ✔

$$A_{p\min} = \tfrac{\pi}{4}(d_{Wa}^2 - D_{Ki}^2)$$$$p_{M\max} = \frac{F_{Mzul}}{A_{p\min}}$$$$p_{B\max} = \frac{F_{V\max} + F_{SA\max} - \Delta F_{Vth}}{A_{p\min}} \le p_G$$

代入：头侧：$D_{Ki} = 17.70\,\text{mm}$, $d_{Wa} = 22.50\,\text{mm}$, $A_{p\min} = \tfrac{\pi}{4}(22.50^2 - 17.70^2) = 151.6\,\text{mm}^2$

$p_{M\max} = 784.7\,\text{N/mm}^2$（R10/1（式 (190)））

$p_{B\max} = (118928 + 0 - 0)/151.6 = 784.7\,\text{N/mm}^2$

头侧 $p_G = 850\,\text{N/mm}^2$（表 A9（GJL-250））：$S_p = 1.08$, $S_{pB} = 1.08$

螺母侧：$d_{WMu} = 22.49\,\text{mm}$（按 ISO 4032（DIN EN ISO 4032:2023-12）取 $d_{w,min}$），$D_{Ki,Mu} = 17.28\,\text{mm}$（螺母侧：未给 $D_{Ki}$，回退取 max($d_{a,max}$, $d_h$)——承压面积未因被连接件的倒角而减小，$S_p$ 偏乐观），$d_{Wa,Mu} = 22.49\,\text{mm}$, $A_{pMu,\min} = \tfrac{\pi}{4}(22.49^2 - 17.28^2) = 162.7\,\text{mm}^2$

$p_{Mu\max} = 730.8\,\text{N/mm}^2$

$p_{B\max,Mu} = 730.8\,\text{N/mm}^2$

螺母侧 $p_G = 850\,\text{N/mm}^2$（表 A9（GJL-250））：$S_p = 1.16$, $S_{pB} = 1.16$

控制侧：头侧

◆ 对照量 最小支承面积 $A_{p\min}$（头侧） = 151.6 mm²，例题值 151.5，误差 +0.07 %（见「结果比对」）

◆ 对照量 装配态支承面压强 $p_{M\max}$（头侧） = 784.7 N/mm²，例题值 784，误差 +0.09 %（见「结果比对」）

◆ 对照量 装配态支承面压强校核：$S_P$ 达到所需值（R10） = 是，例题值 是，误差 一致（见「结果比对」）

步骤 17　R12：滑移安全系数 $S_G$ · VDI 2230 Blatt 1:2015, R12/1, R12/2 (Gl.108), R12/4 ✔

$$F_{KQ,erf} = \frac{F_{Q\max}}{q_F\,\mu_{T\min}} + \frac{M_{Y\max}}{q_M\,r_a\,\mu_{T\min}}$$$$S_G = \frac{F_{KR\min}}{F_{KQ,erf}} > 1.0$$

代入：$F_{KQ,erf} = 8400/(1 \cdot 0.15) = 56000\,\text{N}$

$F_{KR\min} = 70699\,\text{N}$ → $S_G = 1.26$ ✅

所需 $S_G \ge 1.2$（静载，R12/4 的常用值；安全系数由使用者设定）

◆ 对照量 最小残余夹紧力 $F_{KR\min}$ = 70699 N，例题值 70620，误差 +0.11 %（见「结果比对」）

◆ 对照量 滑移安全系数 $S_G$ = 1.26，例题值 1.26，误差 0.00 %（见「结果比对」）

◆ 对照量 滑移校核：$S_G$ 达到所需值（R12） = 是，例题值 是，误差 一致（见「结果比对」）

步骤 18　R12b：螺栓抗剪 $S_A$ · VDI 2230 Blatt 1:2015, §5.5.6.3, Gl.(219)(220) ✔

$$A_\tau=\frac{\pi}{4}d_\tau^2$$$$S_A=\frac{\tau_{BS}}{\tau_{Qmax}}\geq1.1$$

代入：$d_\tau = 16.000\,\text{mm}$

$A_\tau = 201.1\,\text{mm}^2$

$\tau_{BS} = 0.62 \cdot 1000.0 = 620\,\text{N/mm}^2$

$\tau_{Q\max} = 8400/201.1 = 41.8\,\text{N/mm}^2$

$S_A = 14.84$

◆ 对照量 最大剪应力 $\tau_{Q\max}$ = 41.8 N/mm²，例题值 41.8，误差 0.00 %（见「结果比对」）

◆ 对照量 抗剪校核：$S_A$ 达到所需值（R12） = 是，例题值 是，误差 一致（见「结果比对」）

步骤 21　R13：拧紧力矩 $M_A$ · VDI 2230, R13/1 (Gl.127), Gl.128/129

$$D_{Km} = \frac{d_W + D_{Ki}}{2}$$$$M_A = F_{Mzul}\left[0.16P + 0.58 d_2 \mu_{G\min} + \frac{D_{Km}}{2}\mu_{K\min}\right]$$

代入：$D_{Km} = (22.50 + 17.70)/2 = 20.10\,\text{mm}$

$M_A = 118928 \cdot [0.16 \cdot 2.0 + 0.58 \cdot 14.701 \cdot 0.12 + 20.10/2 \cdot 0.12] = 303171\,\text{N}\cdot\text{mm} = 303.2\,\text{N}\cdot\text{m}$

◆ 对照量 拧紧力矩 $M_A$ = 303171 N·mm，例题值 302000，误差 +0.39 %（见「结果比对」）

结果比对

结果（单位） 例题值 MechCalc 误差 (%)
所需最小夹紧力 $F_{Kerf}$（N）（步骤 4） 56000 56000 0.00
螺栓柔度 $\delta_S$（mm/N）（步骤 5） $2.249\times10^{-6}$ $2.24839\times10^{-6}$ -0.03
被连接件柔度 $\delta_P$（mm/N）（步骤 6） $7.81\times10^{-7}$ $7.81065\times10^{-7}$ +0.01
嵌入导致的预紧力损失 $F_Z$（N）（步骤 9） 3630 3631 +0.03
最小装配预紧力 $F_{M\min}$（N）（步骤 10） 59630 59631 0.00
最大装配预紧力 $F_{Mmax}$（N）（步骤 11） 95408 95410 0.00
最小支承面积 $A_{p\min}$（头侧）（mm²）（步骤 16） 151.5 151.6 +0.07
最大剪应力 $\tau_{Q\max}$（N/mm²）（步骤 18） 41.8 41.8 0.00
嵌入量 $f_Z$（μm）（步骤 9） 11 11 0.00
许用装配预紧力 $F_{Mzul}$（N）（步骤 12） 118800 118928 +0.11
装配态支承面压强 $p_{M\max}$（头侧）（N/mm²）（步骤 16） 784 784.7 +0.09
最小残余夹紧力 $F_{KR\min}$（N）（步骤 17） 70620 70699 +0.11
滑移安全系数 $S_G$（步骤 17） 1.26 1.26 0.00
拧紧力矩 $M_A$（N·mm）（步骤 21） 302000 303171 +0.39
抗剪校核：$S_A$ 达到所需值（R12）（步骤 18） 是 是 一致
装配态支承面压强校核：$S_P$ 达到所需值（R10）（步骤 16） 是 是 一致
滑移校核：$S_G$ 达到所需值（R12）（步骤 17） 是 是 一致