出处：Niemann, G., Winter, H., Höhn, B.-R., & Stahl, K. (2019). Maschinenelemente 1 – Konstruktion und Berechnung von Verbindungen, Lagern, Wellen（第 5 版）. Berlin: Springer Vieweg. ISBN 978-3-662-55481-4. 第 10.11 节 Berechnungsbeispiele（计算示例），Beispiel 10.2（例 10.2），第 305–306 页；另有部分例题值：VDI 2230 Blatt 1:2015-11，计算步骤 R3–R9、R13（独立手算，输入取自 Niemann 2019 例 10.2）。
计算器：VDI 2230-1 单螺栓连接计算 ，一键载入本题输入，点「执行计算」即可复算。
题目
连杆大头与连杆盖之间的一颗 M10、10.9 级缩颈螺栓，螺纹切削后调质，穿过通孔、用螺母拧紧（通孔连接），扭矩扳手拧紧。夹紧长度 $l_K = 70$ mm；原书列出两段各 10 mm（直径 8 mm 与 10 mm，后者由印出的 $\delta_{12}$ 反推）和 40 mm 长、直径 7.3 mm 的缩颈段，合计 60 mm，其余 10 mm 本题按螺纹段补入（推定）。$d_W = 17$ mm，$d_h = 11$ mm，$D_A = 25$ mm。螺栓承受 0 至 $F_A = 15\,000$ N 的脉动轴向载荷，残余夹紧力不小于 500 N（例 10.2，第 305–306 页）。
连杆螺栓连接与夹紧长度分段（来源：Niemann/Winter/Höhn/Stahl, Maschinenelemente 1, 5. Aufl., Springer Vieweg 2019, Abb. 10.17，第 278 页）
输入参数
本题的几何输入（据 mechCalc 计算器载入本题绘制）
| 名称 | 符号 | 取值 |
|---|---|---|
| 被夹件分层 1，弹性模量 † | $E_{P}$ | 210000 N/mm² |
| 强度等级 | — | 10.9 |
| 屈服强度 | $R_{p0{,}2}$ | 940 N/mm² |
| 抗拉强度 † | $R_m$ | 1040 N/mm² |
| 弹性模量 † | $E_S$ | 210000 N/mm² |
| 螺栓规格 | $d$ | M10 |
| 产品数据的支承面外径 | $d_W$ | 17 mm |
| 被夹件分层 1，厚度 | $h$ | 70 mm |
| 分界面等效外径 | $D_A$ | 25 mm |
| 通孔直径 | $d_h$ | 11 mm |
| 螺栓分段 1，长度 | $l$ | 10 mm |
| 螺栓分段 1，直径 | $d$ | 8 mm |
| 螺栓分段 2，长度 | $l$ | 10 mm |
| 螺栓分段 3，长度 | $l$ | 40 mm |
| 螺栓分段 3，直径 | $d$ | 7.3 mm |
| 螺栓分段 4，长度 | $l$ | 10 mm |
| 轴向载荷 | $F_A$ | 15000 N |
| 载荷导入系数 | $n$ | 0.5 |
| 所需残余夹紧力 | $F_{KR,req}$ | 500 N |
| 最小轴向载荷 | $F_{A,min}$ | 0 N |
| 计算模式 | — | 校核模式（指定规格） |
| 连接类型 | — | TBJ — 通孔连接 |
| 螺栓头型 | — | 六角头（ISO 4014） |
| 螺栓分段 1，段类型 | — | 自定义 $d$ |
| 螺栓分段 2，段类型 | — | 光杆（$A_N$） |
| 螺栓分段 3，段类型 | — | 自定义 $d$ |
| 螺栓分段 4，段类型 | — | 螺纹（$A_{d3}$） |
| 螺纹摩擦系数 | $\mu_{G,min}$ | 0.14 |
| 头部摩擦系数 | $\mu_{K,min}$ | 0.14 |
| 拧紧方法 | — | 扭矩控制法（αA 按 Tabelle A8，默认 1.6） |
| 拧紧系数 † | $\alpha_A$ | 1.4 |
| 沉陷量 | $f_Z$ | 0.013 mm |
| 疲劳校核 | — | 是 |
| 螺纹加工工艺 | — | SV（滚压后调质） |
| 疲劳所需安全系数 | $S_D$ | 1.5 |
† 原文未给：抗拉强度 $R_m = 1040$ N/mm²，取同书 Tab. 10.6 中 10.9 级的最小值（第 270 页）。拧紧系数 $\alpha_A = 1.4$，由原书 $F_{M\max} = \alpha_A\,(F_{KR,\min} + F_{PA} + F_Z) = 22\,712$ N 反推：$22\,712/(500 + 14\,100 + 1623) = 1.40$（式 (10.72)，第 306 页）。螺栓与被夹件的弹性模量 $E_S = E_P = 210\,000$ N/mm²：原书算柔度时写明与例 10.1 类似（第 306 页），故借用例 10.1 的值（第 304 页）。
螺纹加工工艺选 SV：原书写螺纹切削后再调质（geschnitten und schlussvergütet，第 305 页），式 (10.60) 也注明适用于 schlussvergütete Gewinde（第 284 页）；VDI 2230 德文栏的 SV 指最终调质的螺纹（schlussvergütete Schraubengewinde），英文栏译作 rolled before heat treatment（VDI 2230 Blatt 1:2015, §5.5.3, Gl.(170)），所以选项标签「滚压后调质」与原书指同一类螺纹。
计算过程
预紧力（R1–R6）
步骤 5 R3a：螺栓轴向柔度 $\delta_S$ · VDI 2230 Blatt 1:2015, §5.1.1.1, Bild 6, Gl.(18)(19)
$$\delta_S = \delta_{SK} + \sum_i \frac{l_i}{E_S A_i} + \delta_{GM}$$$$\delta_i = \frac{l_i}{E_S A_i}$$代入：4 段：$\delta_{1} = 9.474 \times 10^{-7}$（$l = 10\,\text{mm}$，自定义，$d = 8.000\,\text{mm}$，$A_i = \pi/4\,d_i^2$（式 (18)））
$\delta_{2} = 6.063 \times 10^{-7}$（$l = 10\,\text{mm}$，光杆，$d = 10.000\,\text{mm}$，$A_N$（式 (25)））
$\delta_{3} = 4.551 \times 10^{-6}$（$l = 40\,\text{mm}$，自定义，$d = 7.300\,\text{mm}$，$A_i = \pi/4\,d_i^2$（式 (18)））
$\delta_{4} = 9.106 \times 10^{-7}$（$l = 10\,\text{mm}$，螺纹，$d = 8.160\,\text{mm}$，$A_{d3}$（式 (23)））
$\delta_{SK} = 3.032 \times 10^{-7}$, $\delta_{GM} = 6.978 \times 10^{-7}$ → $\delta_S = 8.0162 \times 10^{-6}\,\text{mm/N}$（头型：六角头）
$l_{SK} = 0.5\,d$（式 (30)）针对通孔的中等系列（DIN EN 20273）
请对照该系列核对所输入的 $d_h$
◆ 对照量 螺栓柔度 $\delta_S$ = $8.01616\times10^{-6}$ mm/N，例题值 $7.05\times10^{-6}$，误差 +13.70 %（见「结果比对」[1]）
步骤 6 R3b：被连接件柔度 $\delta_P$ · VDI 2230 Blatt 1:2015, §5.1.2.1, Gl.(41)/(46)–(50)
$$\delta_P=\frac{2}{w}\,\delta_P^V+\delta_P^H$$代入：分支 ③ 锥 + 套筒（$d_W < D_A < D_{A,Gr}$）
$d_W = 17.00$, $D_A = 25.0$, $d_h = 11.0$, $w = 1$, $\tan\varphi = 0.4441$, $D_{A,Gr} = 48.09$ (mm), $l_V = 9.01$, $l_H = 51.99$ → $\delta_P = 9.9523 \times 10^{-7}\,\text{mm/N}$
◆ 对照量 被连接件柔度 $\delta_P$ = $9.95226\times10^{-7}$ mm/N，例题值 $9.6\times10^{-7}$，误差 +3.67 %（见「结果比对」[2]）
步骤 8 R3d：载荷系数 $\Phi_n$ · VDI 2230 Blatt 1:2015, R3/3, Gl.(82)
$$\Phi_n = n \cdot \frac{\delta_P + \delta_{PZu}}{\delta_S + \delta_P}$$代入：$\delta_{PZu} = (w-1)\,\delta_M = 0\,\text{mm/N}$
$\Phi_n = 0.5 \cdot (9.9523 \times 10^{-7} + 0) / (8.0162 \times 10^{-6} + 9.9523 \times 10^{-7}) = 0.0552$
◆ 对照量 载荷系数（力比）$\Phi$ = 0.0552，例题值 0.06，误差 -8.00 %（见「结果比对」[2]）
步骤 9 R4：预紧力变化 · VDI 2230, R4/1
$$F_Z = \frac{f_Z}{\delta_S + \delta_P}$$代入：$F_Z = 0.013 / 9.0114 \times 10^{-6} = 1443\,\text{N}$
◆ 对照量 嵌入导致的预紧力损失 $F_Z$ = 1443 N，例题值 1623，误差 -11.09 %（见「结果比对」[2]）
步骤 10 R5：最小装配预紧力 $F_{M\min}$ · VDI 2230, R5/1
$$F_{M\min} = F_{Kerf} + (1-\Phi)\cdot F_A + F_Z + \Delta F'_{Vth}$$代入：$F_{M\min} = 500 + (1-0.0552) \cdot 15000 + 1443 + 0 = 16114\,\text{N}$
◆ 对照量 最小装配预紧力 $F_{M\min}$ = 16114 N，例题值 16114.3，误差 0.00 %（见「结果比对」）
步骤 11 R6：最大装配预紧力 $F_{M\max}$ · VDI 2230, R6/1
$$F_{M\max} = \alpha_A \cdot F_{M\min}$$代入：$F_{M\max} = 1.40 \cdot 16114 = 22560\,\text{N}$
◆ 对照量 最大装配预紧力 $F_{Mmax}$ = 22560 N，例题值 22712，误差 -0.67 %（见「结果比对」[2]）
校核（R7–R13）
步骤 12 R7：许用装配预紧力 $F_{Mzul}$ · VDI 2230, R7/2
$$F_{Mzul} = A_0 \cdot \frac{\nu \cdot R_{p0{,}2}}{\sqrt{1+3\left[\frac{3}{2}\frac{d_2}{d_0}\left(\frac{P}{\pi d_2}+1.155\mu_{G\min}\right)\right]^2}}$$代入：$d_0 = d_i = 7.300\,\text{mm}$（最弱段）
$A_0 = 41.9\,\text{mm}^2$
缩颈螺栓：按 §5.5.1 取 $d_0 = d_{i,min}$
$\nu = 0.9$, $R_{p0,2} = 940.0\,\text{N/mm}^2$ → $F_{Mzul} = 29153\,\text{N}$
◆ 对照量 许用装配预紧力 $F_{Mzul}$ = 29153 N，例题值 29152.5，误差 0.00 %（见「结果比对」）
步骤 16 R8：工作应力校核 · VDI 2230, R8/1~R8/5 ✔
$$\sigma_{red,B} = \sqrt{\sigma_{z,\max}^2 + 3(k_\tau \cdot \tau_{\max})^2}$$代入：$F_{S\max} = 29981\,\text{N}$, $\sigma_z = 716.3$, $\tau = 369.6$, $\sigma_{red,B} = 784.6$ (N/mm²)
$S_F = 940.0/784.6 = 1.20 \geq 1.0$ → ✅
◆ 对照量 静强度安全系数 $S_F$ = 1.2，例题值 1.55，误差 -22.58 %（见「结果比对」[6]）
◆ 对照量 最大螺栓力 $F_{S\max}$ = 29981 N，例题值 29980.8，误差 0.00 %（见「结果比对」）
◆ 对照量 工作状态等效应力 $\sigma_{red,B}$ = 784.6 N/mm²，例题值 784.594，误差 0.00 %（见「结果比对」）
◆ 对照量 静强度校核：$S_F$ 达到所需值（R8） = 是，例题值 是，误差 一致（见「结果比对」）
步骤 17 R9：疲劳强度校核 · VDI 2230, R9/1~R9/5 ✔
$$S_D = \frac{\sigma_{AS}}{\sigma_a} \geq 1.0$$代入：$\sigma_a = 7.14$, $\sigma_{AS} = 51.00$ (N/mm²)
$S_D = 7.14 \geq 1.5$ → ✅
所需 $S_D \ge 1.5$（由使用者设定）
◆ 对照量 交变应力幅 $\sigma_a$ = 7.14 N/mm²，例题值 8.6，误差 -16.98 %（见「结果比对」[3]）
◆ 对照量 疲劳极限 $\sigma_{AS}$ = 51 N/mm²，例题值 61.67，误差 -17.30 %（见「结果比对」[4]）
◆ 对照量 疲劳安全系数 $S_D$ = 7.14，例题值 7.2，误差 -0.83 %（见「结果比对」[5]）
◆ 对照量 疲劳校核：$S_D$ 达到所需值（R9） = 是，例题值 是，误差 一致（见「结果比对」）
步骤 19 R13：拧紧力矩 $M_A$ · VDI 2230, R13/1 (Gl.127), Gl.128/129
$$D_{Km} = \frac{d_W + D_{Ki}}{2}$$$$M_A = F_{Mzul}\left[0.16P + 0.58 d_2 \mu_{G\min} + \frac{D_{Km}}{2}\mu_{K\min}\right]$$代入：$D_{Km} = (17.00 + 11.00)/2 = 14.00\,\text{mm}$（$D_{Ki}$ 回退取 $d_h$）
$M_A = 29153 \cdot [0.16 \cdot 1.5 + 0.58 \cdot 9.026 \cdot 0.14 + 14.00/2 \cdot 0.14] = 56932\,\text{N}\cdot\text{mm} = 56.9\,\text{N}\cdot\text{m}$
◆ 对照量 拧紧力矩 $M_A$ = 56932 N·mm，例题值 56932.3，误差 0.00 %（见「结果比对」）
结果比对
| 结果（单位） | 例题值 | MechCalc | 误差 (%) |
|---|---|---|---|
| 螺栓柔度 $\delta_S$（mm/N）（步骤 5） | $7.05\times10^{-6}$ | $8.01616\times10^{-6}$ | +13.70 [1] |
| 被连接件柔度 $\delta_P$（mm/N）（步骤 6） | $9.6\times10^{-7}$ | $9.95226\times10^{-7}$ | +3.67 [2] |
| 载荷系数（力比）$\Phi$（步骤 8） | 0.06 | 0.0552 | -8.00 [2] |
| 嵌入导致的预紧力损失 $F_Z$（N）（步骤 9） | 1623 | 1443 | -11.09 [2] |
| 最大装配预紧力 $F_{Mmax}$（N）（步骤 11） | 22712 | 22560 | -0.67 [2] |
| 交变应力幅 $\sigma_a$（N/mm²）（步骤 17） | 8.6 | 7.14 | -16.98 [3] |
| 疲劳极限 $\sigma_{AS}$（N/mm²）（步骤 17） | 61.67 | 51 | -17.30 [4] |
| 疲劳安全系数 $S_D$（步骤 17） | 7.2 | 7.14 | -0.83 [5] |
| 静强度安全系数 $S_F$（步骤 16） | 1.55 | 1.2 | -22.58 [6] |
| 螺栓柔度 $\delta_S$（mm/N）（步骤 5） | $8.01616\times10^{-6}$ | $8.01616\times10^{-6}$ | 0.00 |
| 被连接件柔度 $\delta_P$（mm/N）（步骤 6） | $9.95226\times10^{-7}$ | $9.95226\times10^{-7}$ | 0.00 |
| 载荷系数（力比）$\Phi$（步骤 8） | 0.0552205 | 0.0552 | -0.04 |
| 嵌入导致的预紧力损失 $F_Z$（N）（步骤 9） | 1442.62 | 1443 | +0.03 |
| 最小装配预紧力 $F_{M\min}$（N）（步骤 10） | 16114.3 | 16114 | 0.00 |
| 最大装配预紧力 $F_{Mmax}$（N）（步骤 11） | 22560 | 22560 | 0.00 |
| 许用装配预紧力 $F_{Mzul}$（N）（步骤 12） | 29152.5 | 29153 | 0.00 |
| 最大螺栓力 $F_{S\max}$（N）（步骤 16） | 29980.8 | 29981 | 0.00 |
| 工作状态等效应力 $\sigma_{red,B}$（N/mm²）（步骤 16） | 784.594 | 784.6 | 0.00 |
| 静强度安全系数 $S_F$（步骤 16） | 1.19807 | 1.2 | +0.16 |
| 拧紧力矩 $M_A$（N·mm）（步骤 19） | 56932.3 | 56932 | 0.00 |
| 交变应力幅 $\sigma_a$（N/mm²）（步骤 17） | 7.14138 | 7.14 | -0.02 |
| 疲劳极限 $\sigma_{AS}$（N/mm²）（步骤 17） | 51 | 51 | 0.00 |
| 疲劳安全系数 $S_D$（步骤 17） | 7.14148 | 7.14 | -0.02 |
| 静强度校核：$S_F$ 达到所需值（R8）（步骤 16） | 是 | 是 | 一致 |
| 疲劳校核：$S_D$ 达到所需值（R9）（步骤 17） | 是 | 是 | 一致 |
- [1] 原文第 306 页式 (10.25) 印 $\delta_S = 70.5\times10^{-7}$ mm/N，所列分项只覆盖 60 mm 杆段，而 $l_K = 70$ mm，缺 10 mm 段的柔度。缺段按螺纹计（本题输入的推定）为 $9.11\times10^{-7}$ mm/N，约占原文式链的 12.9 %；另有头部取 $0.4d$ 对计算器 $0.5d$ 的方法差（0.9 %），计算器按完整 $l_K$ 得 $8.02\times10^{-6}$ mm/N。缺项经 $\Phi$、$F_Z$ 传到下游；按完整 $l_K$ 计算，静强度与疲劳两项校核仍合格。
- [2] 被夹件柔度模型不同（1986 版替代圆柱对 2015 版变形锥加套筒），并叠加原文 $\delta_S$ 缺 10 mm 段，$\Phi$、$F_Z$、$F_{Mmax}$ 随之变化。例题的 $\Phi$ 由原文 $F_{SA} = 900$ N 与 $F_A = 15\,000$ N 换算：$\Phi_n = 900/15\,000 = 0.06$（原文印的 $\Phi = 0.12$ 未乘 $n$）。
- [3] 原文用小径截面 $A_3$，计算器按 VDI 2230:2015 用应力截面 $A_S$，且 $\Phi_n$ 不同（0.0552 对 0.06）。
- [4] 原文第 306 页印 $\sigma_A = 0.85\,(150/d + 45) = 61.67$ N/mm²，但同一式（式 (10.60)，$d$ 为公称直径）取 $d = 10$ mm 应为 51.0 N/mm²，第 285 页 Abb. 10.28 的表值为 60 N/mm²，印数偏高 20.9 %。计算器按 VDI 2230:2015 R9/5-1 同式得 51.0；改正后疲劳安全系数仍大于 $S_{D,min} = 1.5$，合格结论不变。
- [5] 原文第 306 页式 (10.76) 印 $S_D = 7.2$，与其印出的 $\sigma_A = 61.67$ 自洽，但该 $\sigma_A$ 偏高（见 $\sigma_{AS}$ 的注）；按原文页上式取 $\sigma_A = 51.0$ 得 5.93，取 Abb. 10.28 表值 60 得 6.98。计算器 7.14 与印数相近，是 $\sigma_A$ 偏高与 $\sigma_a$ 截面口径不同两处差异相消；各种取法都大于 $S_{D,min} = 1.5$，合格结论不变。
- [6] 原文第 306 页式 (10.75) 印 $S_F = 1.55$，所用 $F_{Smax} = 15\,700$ N 取自预选式 (10.68)，而原文第 286 页写明预选式只用于选尺寸、不用于强度校核；按校核式 (10.74) 取 $F_{Smax} = F_{Mmax} + F_{SA} = 23\,612$ N，同一式 (10.75) 得 1.274，印数偏高 21.7 %。$S_F > S_{F,min} = 1.1$ 的结论不变；计算器按 VDI 2230:2015 R8（口径不同）得 1.20。