出处：Niemann, G., Winter, H., Höhn, B.-R., & Stahl, K. (2019). Maschinenelemente 1 – Konstruktion und Berechnung von Verbindungen, Lagern, Wellen（第 5 版）. Berlin: Springer Vieweg. ISBN 978-3-662-55481-4. 第 10.11 节 Berechnungsbeispiele（计算示例），Beispiel 10.1（例 10.1），第 304–305 页；另有部分例题值：VDI 2230 Blatt 1:2015-11，计算步骤 R3–R8、R13（独立手算，输入取自 Niemann 2019 例 10.1）。
计算器：VDI 2230-1 单螺栓连接计算 ，一键载入本题输入，点「执行计算」即可复算。
题目
对象是钢法兰连接中的一颗 M10、8.8 级六角头螺栓，穿过通孔、用螺母拧紧（通孔连接），扭矩扳手拧紧，拧紧系数 $\alpha_A = 1.4$。夹紧长度 $l_K = 50$ mm，其中光杆 28 mm、自由螺纹 22 mm；支承面外径 $d_W = 14.5$ mm，通孔直径 $d_h = 11$ mm，法兰在螺栓外侧伸出 25 mm，取 $D_A = 50$ mm。螺栓与被夹件都是钢。每颗螺栓承受静态轴向载荷 $F_A = 20\,000$ N，要求残余夹紧力不小于 100 N、静强度安全系数不小于 1.1（例 10.1，第 304 页）。
螺栓连接的推荐结构（来源：Niemann/Winter/Höhn/Stahl, Maschinenelemente 1, 5. Aufl., Springer Vieweg 2019, Abb. 10.34，第 295 页）
输入参数
本题的几何输入（据 mechCalc 计算器载入本题绘制）
| 名称 | 符号 | 取值 |
|---|---|---|
| 被夹件分层 1，弹性模量 | $E_{P}$ | 210000 N/mm² |
| 强度等级 | — | 8.8 |
| 屈服强度 | $R_{p0{,}2}$ | 640 N/mm² |
| 抗拉强度 † | $R_m$ | 800 N/mm² |
| 弹性模量 | $E_S$ | 210000 N/mm² |
| 螺栓规格 | $d$ | M10 |
| 产品数据的支承面外径 | $d_W$ | 14.5 mm |
| 被夹件分层 1，厚度 | $h$ | 50 mm |
| 分界面等效外径 | $D_A$ | 50 mm |
| 通孔直径 | $d_h$ | 11 mm |
| 夹紧光杆段长 | $l_1$ | 28 mm |
| 轴向载荷 | $F_A$ | 20000 N |
| 载荷导入系数 | $n$ | 0.7 |
| 所需残余夹紧力 | $F_{KR,req}$ | 100 N |
| 计算模式 | — | 校核模式（指定规格） |
| 连接类型 | — | TBJ — 通孔连接 |
| 螺栓头型 | — | 六角头（ISO 4014） |
| 螺纹摩擦系数 † | $\mu_{G,min}$ | 0.13 |
| 头部摩擦系数 † | $\mu_{K,min}$ | 0.13 |
| 拧紧系数 | $\alpha_A$ | 1.4 |
| 沉陷量 | $f_Z$ | 0.011 mm |
| 疲劳校核 | — | 否 |
† 原文未给：抗拉强度 $R_m = 800$ N/mm²，取同书 Tab. 10.6 中 8.8 级（M16 及以下）的最小值（第 270 页）。螺纹摩擦系数 $\mu_{G,min} = 0.13$：原书只给 60° 牙型的当量摩擦系数 $\mu' = 0.15$（假定值，第 304 页），按 $\mu' = \mu/\cos(\alpha/2)$（式 (10.8)，第 268 页）换算为 $\mu_G = 0.15 \times \cos 30^\circ = 0.13$。头部摩擦系数 $\mu_{K,min} = 0.13$，按原书第 273 页头部摩擦系数可取与螺纹相同的说明，取 $\mu_K = \mu_G$。
计算过程
预紧力（R1–R6）
步骤 5 R3a：螺栓轴向柔度 $\delta_S$ · VDI 2230 Blatt 1:2015, §5.1.1.1, Gl.(19)
$$\delta_S = \delta_{SK} + \delta_1 + \delta_{Gew} + \delta_{GM}$$代入：$\delta_S = 4.7018 \times 10^{-6}\,\text{mm/N}$（$l_1 = 28.0\,\text{mm}$，$l_{Gew} = 22.0\,\text{mm}$，头型：六角头）
$l_{SK} = 0.5\,d$（式 (30)）针对通孔的中等系列（DIN EN 20273）
请对照该系列核对所输入的 $d_h$
◆ 对照量 螺栓柔度 $\delta_S$ = $4.70185\times10^{-6}$ mm/N，例题值 $4.64\times10^{-6}$，误差 +1.33 %（见「结果比对」[1]）
步骤 6 R3b：被连接件柔度 $\delta_P$ · VDI 2230 Blatt 1:2015, §5.1.2.1, Gl.(40)
$$\delta_P=\frac{2\ln\left[\frac{(d_W+d_h)(d_W+w l_K\tan\varphi-d_h)}{(d_W-d_h)(d_W+w l_K\tan\varphi+d_h)}\right]}{w E_P\pi d_h\tan\varphi}$$代入：分支 ② 仅锥体（$D_A \geq D_{A,Gr}$）
$d_W = 14.50$, $D_A = 50.0$, $d_h = 11.0$, $w = 1$, $\tan\varphi = 0.5688$, $D_{A,Gr} = 42.94$ (mm) → $\delta_P = 7.0829 \times 10^{-7}\,\text{mm/N}$
◆ 对照量 被连接件柔度 $\delta_P$ = $7.08291\times10^{-7}$ mm/N，例题值 $5.6\times10^{-7}$，误差 +26.48 %（见「结果比对」[2]）
步骤 8 R3d：载荷系数 $\Phi_n$ · VDI 2230 Blatt 1:2015, R3/3, Gl.(82)
$$\Phi_n = n \cdot \frac{\delta_P + \delta_{PZu}}{\delta_S + \delta_P}$$代入：$\delta_{PZu} = (w-1)\,\delta_M = 0\,\text{mm/N}$
$\Phi_n = 0.7 \cdot (7.0829 \times 10^{-7} + 0) / (4.7018 \times 10^{-6} + 7.0829 \times 10^{-7}) = 0.0916$
◆ 对照量 载荷系数（力比）$\Phi$ = 0.0916，例题值 0.0754，误差 +21.49 %（见「结果比对」[2]）
步骤 9 R4：预紧力变化 · VDI 2230, R4/1
$$F_Z = \frac{f_Z}{\delta_S + \delta_P}$$代入：$F_Z = 0.011 / 5.4101 \times 10^{-6} = 2033\,\text{N}$
◆ 对照量 嵌入导致的预紧力损失 $F_Z$ = 2033 N，例题值 2115，误差 -3.88 %（见「结果比对」[2]）
步骤 10 R5：最小装配预紧力 $F_{M\min}$ · VDI 2230, R5/1
$$F_{M\min} = F_{Kerf} + (1-\Phi)\cdot F_A + F_Z + \Delta F'_{Vth}$$代入：$F_{M\min} = 100 + (1-0.0916) \cdot 20000 + 2033 + 0 = 20300\,\text{N}$
◆ 对照量 最小装配预紧力 $F_{M\min}$ = 20300 N，例题值 20300.3，误差 0.00 %（见「结果比对」）
步骤 11 R6：最大装配预紧力 $F_{M\max}$ · VDI 2230, R6/1
$$F_{M\max} = \alpha_A \cdot F_{M\min}$$代入：$F_{M\max} = 1.40 \cdot 20300 = 28420\,\text{N}$
◆ 对照量 最大装配预紧力 $F_{Mmax}$ = 28420 N，例题值 28990，误差 -1.97 %（见「结果比对」[2]）
校核（R7–R13）
步骤 12 R7：许用装配预紧力 $F_{Mzul}$ · VDI 2230, R7/2
$$F_{Mzul} = A_0 \cdot \frac{\nu \cdot R_{p0{,}2}}{\sqrt{1+3\left[\frac{3}{2}\frac{d_2}{d_0}\left(\frac{P}{\pi d_2}+1.155\mu_{G\min}\right)\right]^2}}$$代入：$A_0 = 58.0\,\text{mm}^2$, $\nu = 0.9$, $R_{p0,2} = 640.0\,\text{N/mm}^2$ → $F_{Mzul} = 29218\,\text{N}$
◆ 对照量 许用装配预紧力 $F_{Mzul}$ = 29218 N，例题值 29218.4，误差 0.00 %（见「结果比对」）
步骤 16 R8：工作应力校核 · VDI 2230, R8/1~R8/5 ✔
$$\sigma_{red,B} = \sqrt{\sigma_{z,\max}^2 + 3(k_\tau \cdot \tau_{\max})^2}$$代入：$F_{S\max} = 31051\,\text{N}$, $\sigma_z = 535.4$, $\tau = 214.9$, $\sigma_{red,B} = 566.9$ (N/mm²)
$S_F = 640.0/566.9 = 1.13 \geq 1.0$ → ✅
◆ 对照量 静强度安全系数 $S_F$ = 1.13，例题值 1.257，误差 -10.10 %（见「结果比对」[3]）
◆ 对照量 最大螺栓力 $F_{S\max}$ = 31051 N，例题值 31051.3，误差 0.00 %（见「结果比对」）
◆ 对照量 工作状态等效应力 $\sigma_{red,B}$ = 566.9 N/mm²，例题值 566.852，误差 +0.01 %（见「结果比对」）
◆ 对照量 静强度校核：$S_F$ 达到所需值（R8） = 是，例题值 是，误差 一致（见「结果比对」）
步骤 18 R13：拧紧力矩 $M_A$ · VDI 2230, R13/1 (Gl.127), Gl.128/129
$$D_{Km} = \frac{d_W + D_{Ki}}{2}$$$$M_A = F_{Mzul}\left[0.16P + 0.58 d_2 \mu_{G\min} + \frac{D_{Km}}{2}\mu_{K\min}\right]$$代入：$D_{Km} = (14.50 + 11.00)/2 = 12.75\,\text{mm}$（$D_{Ki}$ 回退取 $d_h$）
$M_A = 29218 \cdot [0.16 \cdot 1.5 + 0.58 \cdot 9.026 \cdot 0.13 + 12.75/2 \cdot 0.13] = 51112\,\text{N}\cdot\text{mm} = 51.1\,\text{N}\cdot\text{m}$
◆ 对照量 拧紧力矩 $M_A$ = 51112 N·mm，例题值 51112，误差 0.00 %（见「结果比对」）
结果比对
| 结果（单位） | 例题值 | MechCalc | 误差 (%) |
|---|---|---|---|
| 螺栓柔度 $\delta_S$（mm/N）（步骤 5） | $4.64\times10^{-6}$ | $4.70185\times10^{-6}$ | +1.33 [1] |
| 被连接件柔度 $\delta_P$（mm/N）（步骤 6） | $5.6\times10^{-7}$ | $7.08291\times10^{-7}$ | +26.48 [2] |
| 载荷系数（力比）$\Phi$（步骤 8） | 0.0754 | 0.0916 | +21.49 [2] |
| 嵌入导致的预紧力损失 $F_Z$（N）（步骤 9） | 2115 | 2033 | -3.88 [2] |
| 最大装配预紧力 $F_{Mmax}$（N）（步骤 11） | 28990 | 28420 | -1.97 [2] |
| 静强度安全系数 $S_F$（步骤 16） | 1.257 | 1.13 | -10.10 [3] |
| 螺栓柔度 $\delta_S$（mm/N）（步骤 5） | $4.70185\times10^{-6}$ | $4.70185\times10^{-6}$ | 0.00 |
| 被连接件柔度 $\delta_P$（mm/N）（步骤 6） | $7.08291\times10^{-7}$ | $7.08291\times10^{-7}$ | 0.00 |
| 载荷系数（力比）$\Phi$（步骤 8） | 0.0916434 | 0.0916 | -0.05 |
| 嵌入导致的预紧力损失 $F_Z$（N）（步骤 9） | 2033.22 | 2033 | -0.01 |
| 最小装配预紧力 $F_{M\min}$（N）（步骤 10） | 20300.3 | 20300 | 0.00 |
| 最大装配预紧力 $F_{Mmax}$（N）（步骤 11） | 28420.5 | 28420 | 0.00 |
| 许用装配预紧力 $F_{Mzul}$（N）（步骤 12） | 29218.4 | 29218 | 0.00 |
| 最大螺栓力 $F_{S\max}$（N）（步骤 16） | 31051.3 | 31051 | 0.00 |
| 工作状态等效应力 $\sigma_{red,B}$（N/mm²）（步骤 16） | 566.852 | 566.9 | +0.01 |
| 静强度安全系数 $S_F$（步骤 16） | 1.12904 | 1.13 | +0.09 |
| 拧紧力矩 $M_A$（N·mm）（步骤 18） | 51112 | 51112 | 0.00 |
| 静强度校核：$S_F$ 达到所需值（R8）（步骤 16） | 是 | 是 | 一致 |
- [1] 原文式 (10.26) 头部取 $0.4d$，计算器六角头取 $0.5d$（VDI 2230:2015 Gl.(30)），$\delta_S$ 因此大 1.33 %。
- [2] 被夹件柔度模型不同：原文用 1986 版替代圆柱（$\delta_P=5.6\times10^{-7}$），计算器用 2015 版变形锥（$7.08\times10^{-7}$），$\Phi$、$F_Z$、$F_{Mmax}$ 随之变化。例题的 $\Phi$ 由原文 $F_{SA} = 1508$ N 与 $F_A = 20\,000$ N 换算：$\Phi_n = 1508/20\,000 = 0.0754$（原文印的 $\Phi = 0.1077$ 未乘 $n$）。
- [3] 原文第 305 页式 (10.75) 印 $S_F = 1.257$，与其自身式 (10.74)(10.75) 不符：取 $F_{Smax} = F_{Mmax} + F_{SA} = 30\,498$ N 应为 0.9935（把预选式 (10.68) 的 $F_{Smax} = 20\,140$ N 代入可复现印数，原文未写明，属推断）。按原文自身式 $S_F < S_{F,min} = 1.1$，原文的合格判定不成立；计算器按 VDI 2230:2015 R8（口径不同）得 1.13，仍合格。