做 BS 7910 断裂评定，多数人把注意力放在裂纹尺寸、应力和断裂韧性上，却容易忽略一个藏在材料里的开关：这块钢屈服的时候，是「顺滑地」过渡，还是「先卡一下、再一泻千里」？这个看似材料学的小细节，会让失效评定曲线在 $L_r=1$ 附近长出一道断崖——用错了，安全裕度就会被严重高估。本文讲清什么是屈服、连续与不连续屈服的区别，以及 Option 1 与 Option 2 各自如何处理它们。

如果你还不熟悉失效评定图（FAD）的横轴 $L_r$、纵轴 $K_r$ 和那条分界的失效评定曲线，建议先读《BS 7910 断裂评定简明教程》 ；想纵览三档评定选项怎么选，见《Clause 7 三档评定选项：Option 1 / 2 / 3 怎么选、差在哪》 。本文只聚焦一件事：材料的屈服行为，如何改变那条 FAL 曲线的画法。

一、先说屈服：材料从「弹」到「塑」的那道坎

拉一根金属棒，一开始它像弹簧——拉力撤掉就弹回原状，这是弹性变形。但拉力越过某个门槛后，棒子会留下永久伸长、卸载也回不去了，这就叫屈服（yielding）：材料从可恢复的弹性，跨进了不可恢复的塑性变形。那个门槛应力，就是屈服强度 $\sigma_Y$。

屈服强度具体怎么取，要看材料「屈服得干不干脆」：

  • 有些材料屈服时有明显的上屈服点 $R_{eH}$（挣脱束缚前的最高应力）和下屈服强度 $R_{eL}$（随后应力回落并稳定下来的值）。这类材料工程上取下屈服强度 $R_{eL}$ 作屈服强度——它数值更稳定、偏于安全。
  • 有些材料屈服是「渐进」的，压根没有清晰的屈服点。这类材料就人为规定：产生 $0.2\%$ 残余塑性应变时的应力，记作 $0.2\%$ 规定非比例延伸强度 $R_{p0.2}$，拿它当名义屈服强度（BS 7910:2019, §7.1.3）。

这两种「屈服得干不干脆」，正是本文的主角——连续屈服与不连续屈服。

二、两种屈服行为：连续 vs 不连续

把两类材料的应力-应变曲线画在一起，区别一目了然：

图1：两种屈服行为的应力-应变曲线对比（弹性段为示意、未按真实模量比例，以便看清屈服细节）。左：连续屈服——过了屈服区是一条光滑上升的曲线，没有平台，屈服强度以 0.2% 规定非比例延伸强度 R_p0.2 标定。右：不连续屈服——应力先冲到上屈服点 R_eH，随即回落到下屈服强度 R_eL，然后进入一段「应力几乎不增、应变却大幅增长」的吕德斯平台（长度 Δε），平台走完才开始应变硬化。

图1：两种屈服行为的应力-应变曲线对比（弹性段为示意、未按真实模量比例，以便看清屈服细节）。左：连续屈服——过了屈服区是一条光滑上升的曲线，没有平台，屈服强度以 0.2% 规定非比例延伸强度 R_p0.2 标定。右：不连续屈服——应力先冲到上屈服点 R_eH，随即回落到下屈服强度 R_eL，然后进入一段「应力几乎不增、应变却大幅增长」的吕德斯平台（长度 Δε），平台走完才开始应变硬化。

  • 连续屈服（continuous yielding）：应力-应变曲线光滑过渡，屈服后应力随应变持续上升（应变硬化），中间没有停顿。
  • 不连续屈服（discontinuous yielding）：应力冲到上屈服点后回落到下屈服强度，接着出现一段近乎水平的平台——应力几乎不涨，应变却哗啦啦地增长。这段平台叫屈服平台或吕德斯平台（Lüders plateau），平台上产生的那一大段应变叫吕德斯应变 $\Delta\varepsilon$；材料表面还会浮现出肉眼可见的斜向滑移带，即吕德斯带（Lüders band）。

为什么会有平台？ 用微观的话讲：低碳钢里的碳、氮原子喜欢挤在位错周围，像一把把小锁把位错「焊」住（这团原子叫柯氏气团 / Cottrell 气团）。刚开始要变形，得使很大劲把位错从锁里硬拽出来——对应那个偏高的上屈服点；可位错一旦挣脱，在晶格里滑动反而更省力，于是它们成群结队地滑，宏观上就是「力不用再加、棒子却一个劲变长」的屈服平台。等这批位错跑得差不多了，材料才重新进入需要加力的应变硬化阶段。

一个术语提醒：屈服后应力随应变上升的现象，断裂力学里习惯叫应变硬化（工艺上也叫加工硬化）；后面 Option 2 用到的应变硬化指数 $n$ 就是描述它有多强。

三、哪些材料是哪种？

屈服类型主要由成分、热处理和加工历史决定。粗略地分：

倾向不连续屈服（有屈服平台）的材料：

  • 退火态或正火态的低碳钢、C-Mn 钢，尤其是轧制钢板——这是最典型的一类；
  • 对应变时效（strain aging）敏感的碳钢，在相应温度区间工作时平台会格外明显。

倾向连续屈服（无平台、光滑过渡）的材料：

  • 奥氏体不锈钢、铝合金（晶格结构不易形成柯氏气团那种「锁」）；
  • 调质（淬火+高温回火）高强钢；
  • 冷加工态（冷拉、冷轧）钢材——加工过程中位错早被「拽出来」过了，屈服平台被提前消耗掉。

这只是经验倾向，不是铁律。BS 7910 在 §7.1.3.6 的 Table 7.4 里，按屈服强度区间、工艺路线、成分与热处理，给出了轧制钢板「是否假定有屈服平台」的详细判定指引——手上有具体牌号和工艺时，应以该表为准（BS 7910:2019, §7.1.3.6, Table 7.4）。

四、拿不准是哪种？——偏于安全，默认「不连续」

真实工程里，你未必总能拿到某块钢完整的应力-应变曲线，也未必确定它到底有没有平台。这时该怎么办？

**BS 7910 的精神是：数据不足、无法判定时，偏于安全的做法是【假定它是不连续屈服】（即认为存在吕德斯平台）。**规范甚至给出，对 $\sigma_Y < 1000\ \mathrm{N/mm^2}$ 的材料，可直接用下式估算平台长度（BS 7910:2019, §7.1.3.6, 式(7.8)）：

$$\Delta\varepsilon = 0.0375\,(1 - 0.001\,\sigma_Y)$$

为什么「不连续」才是保守假设？ 往下读第五节你会看到：不连续屈服会让失效评定曲线在 $L_r=1$ 处断崖式跌落，也就是把这一带允许的断裂比 $K_r$ 压得很低。假设有平台，等于主动把评定标准调严；反过来，若你把一块其实有平台的钢当成连续屈服来算，就会高估 $L_r\approx1$ 附近的安全裕度，得出偏于危险的结论。安全永远优先——拿不准时，宁可假设那道断崖存在。

有具体牌号与工艺信息时：查 Table 7.4

如果掌握了材料的屈服强度区间、工艺路线、成分与热处理，BS 7910 给出了轧制钢板的判别表（BS 7910:2019, §7.1.3.6, Table 7.4）：

屈服强度区间 (N/mm²) 工艺路线 成分 热处理 假定屈服平台（不连续）?
$R_{eH}\le350$ 热轧态 常规钢（如 BS EN 10025-2，无微合金添加） — 是
$R_{eH}\le350$ 热轧态 含 Mo、Cr、Nb、Al 或 Ti — （否）
$R_{eH}\le350$ 正火态 BS EN 10025-2 型，无微合金 常规正火 是
$R_{eH}\le350$ 正火态 BS EN 10025-3 型，含微合金 常规正火 是
$R_{eH}\le350$ 控轧 BS EN 10025-3 / 10025-4 — 是
$R_{eH}>350$ 控轧 BS EN 10025-3 / 10025-4 轻 TMCR（$R_{eH}<400$） 是
$R_{eH}>350$ 控轧 BS EN 10025-3 / 10025-4 重 TMCR（$R_{eH}>400$） （是）
$R_{eH}\le500$ 调质 含 Mo 或 B，且含微合金 Cr/V/Nb/Ti 重回火（利于平台） 是
$R_{eH}\le500$ 调质 含 Mo 或 B，且含微合金 轻回火（利于无平台） （是）
$R_{eH}\le500$ 调质 无 Mo/B，但含微合金（V 作用尤强） 重回火 （是）
$R_{eH}\le500$ 调质 无 Mo/B，但含微合金 轻回火 （否）
$R_{p0.2}$ 或 $R_{eH}>500$ 调质 含 Mo 或 B，且含微合金 回火至 $R_{p0.2}<\sim690$ （否）
$R_{p0.2}$ 或 $R_{eH}>500$ 调质 含 Mo 或 B，且含微合金 回火至 $R_{p0.2}>\sim690$ 否
$R_{p0.2}$ 或 $R_{eH}>500$ 调质 无 Mo/B，但含微合金 回火至 $R_{p0.2}<\sim690$ 是
$R_{p0.2}$ 或 $R_{eH}>500$ 调质 无 Mo/B，但含微合金 回火至 $R_{p0.2}\ge\sim690$ （否）
$R_{p0.2}\le1000$ 淬火态 所有成分 — 否

表中括号里的「（是）/（否）」表示判定存在不确定性，此时应做敏感性分析，考察屈服平台有无对评定结果的影响；表中屈服强度按上屈服强度 $R_{eH}$ 定义（与相关标准协调）。TMCR 指控轧控冷工艺。来源：BS 7910:2019, §7.1.3.6, Table 7.4。

下面进入正题：Option 1 和 Option 2 各自怎么把这两种屈服行为画进 FAL。

在动手之前先记住一句贯穿全篇的话：评定点 $(L_r,\,K_r)$ 的算法不受屈服类型影响，屈服类型只改变那条 FAL 曲线 $f(L_r)$ 的形状。 横轴 $L_r=\sigma_{ref}/\sigma_Y$、纵轴 $K_r=(K_I^{\,p}+K_I^{\,s})/K_{mat}+\rho$ 照常算（BS 7910:2019, §7.3.6/§7.3.7）。

五、Option 1 的做法：换一组公式

Option 1 数据需求最低（只要 $\sigma_Y$、$\sigma_U$、$E$），它处理两种屈服的办法很直接——准备了两组公式，按材料切换。

图2：Option 1 对两种屈服行为给出的两条失效评定曲线（代表性结构钢 σ_Y=350、σ_U=500 MPa、E=210 GPa）。蓝：连续屈服（式 7.26–7.28）。红：不连续屈服（式 7.29–7.32）——注意它在 Lr<1 段比蓝线略高，却在 Lr=1 处从 0.816 竖直跌落到 0.253，之后一路低于蓝线。两条曲线右端共用同一条塑性截断 L_r,max。

图2：Option 1 对两种屈服行为给出的两条失效评定曲线（代表性结构钢 σ_Y=350、σ_U=500 MPa、E=210 GPa）。蓝：连续屈服（式 7.26–7.28）。红：不连续屈服（式 7.29–7.32）——注意它在 Lr<1 段比蓝线略高，却在 Lr=1 处从 0.816 竖直跌落到 0.253，之后一路低于蓝线。两条曲线右端共用同一条塑性截断 L_r,max。

连续屈服用这组（BS 7910:2019, §7.3.3, 式(7.26)–(7.28)）：

$$f(L_r) = \left(1 + \tfrac{1}{2}L_r^2\right)^{-0.5}\left[\,0.3 + 0.7\exp\!\left(-\mu L_r^6\right)\right] \quad (L_r \le 1)$$$$\mu = \min\!\left(0.001\tfrac{E}{\sigma_Y},\; 0.6\right), \qquad N = 0.3\left(1 - \tfrac{\sigma_Y}{\sigma_U}\right)$$

不连续屈服换成另一组（BS 7910:2019, §7.3.3, 式(7.29)–(7.33)）。关键差别有两处：

  1. $L_r<1$ 段变成 $f(L_r) = \left(1 + \tfrac{1}{2}L_r^2\right)^{-0.5}$——少了后面那个方括号项（也就没有了 $\mu$）。所以这段比连续屈服曲线略高。
  2. 到 $L_r=1$ 时，$f$ 从平台前的值竖直跌落到一个更低的值：
$$f(L_r{=}1) = \left(\lambda + \tfrac{1}{2\lambda}\right)^{-0.5}, \qquad \lambda = 1 + \frac{E\,\Delta\varepsilon}{R_{eL}}$$

为什么会竖直跌落？ 在 $L_r=1$ 这一刻，参考应力刚好等于屈服强度，材料沿屈服平台以近乎恒定的应力「哗」地流过一整段应变 $\Delta\varepsilon$。含缺陷截面的塑性变形能力被瞬间释放出来，允许的 $K_r$ 也就随之从平台前的值断崖式掉到平台后的低值。参数 $\lambda$ 衡量的正是「平台末端总应变」相对「初始弹性屈服应变」的倍数——平台越长（$\Delta\varepsilon$ 越大），$\lambda$ 越大，这道崖跌得越深（图2 里 $\lambda=15.6$，$f$ 从 $0.816$ 直落到 $0.253$）。跌落之后，$1

右墙对两者一视同仁：无论哪种屈服，横轴都止于塑性截断 $L_{r,\max}=(\sigma_Y+\sigma_U)/2\sigma_Y$，越过它 $f$ 直接取零——那是含缺陷截面整体塑性失稳的边界（BS 7910:2019, §7.3.2, 式(7.25)）。

六、Option 2 的做法：同一个公式，让「参考应变」自己长出台阶

到了 Option 2，事情变得更巧妙。Option 2 用材料的真应力-真应变曲线来构造 FAL，只有一个公式（BS 7910:2019, §7.3.4, 式(7.34)），它不像 Option 1 那样换公式：

$$f(L_r) = \left(\frac{E\,\varepsilon_{ref}}{L_r\,\sigma_Y} + \frac{L_r^3\,\sigma_Y}{2\,E\,\varepsilon_{ref}}\right)^{-0.5}$$

奥妙全在里面那个参考应变 $\varepsilon_{ref}$——它是真应力 $\sigma_{ref}=L_r\sigma_Y$ 对应的真应变，直接取自材料真实的应力-应变曲线。于是：只要材料的应力-应变曲线在屈服处有平台，$\varepsilon_{ref}$ 就会在 $L_r=1$ 处突然跳一大截，代进公式，$f(L_r)$ 自然就跌下去了。 换句话说，Option 2 不需要为不连续屈服另立公式，是「输入的曲线」自己带来了那道断崖。

那具体怎么在 $\varepsilon_{ref}$ 里造出这段平台？这里有个容易被误解的点：MechCalc 的 Option 2 用 Ramberg-Osgood（R-O）关系式来拟合应力-应变曲线，而 R-O 式本身只描述连续屈服（光滑曲线，规范 §7.1.3.5 NOTE 1 明确说明）——它画不出平台。所以规范的办法不是让 R-O 去拟合平台，而是按 §7.1.3.6 的「拼接法」在 R-O 之外叠加一段吕德斯应变阶跃：

$$\varepsilon_{ref}(L_r)=\frac{L_r\sigma_Y}{E}+0.002\,L_r^{\,n},\ \ L_r<1; \qquad \varepsilon_{ref}(L_r)=\frac{L_r\sigma_Y}{E}+0.002\,L_r^{\,n}+\Delta\varepsilon,\ \ L_r\ge1$$

R-O 只负责画弹性段和塑性硬化段的光滑形状，$+\Delta\varepsilon$ 那一步在 $L_r=1$ 处把应变硬生生抬高一截——这就是人为再现的吕德斯平台。

图3：Option 2 如何表达不连续屈服。上图——参考应变 ε_ref 随 L_r 的变化：连续（蓝，纯 Ramberg-Osgood）光滑上升；不连续（红）在 L_r=1 处叠加吕德斯应变 Δε，出现一道竖直阶跃。下图——把 ε_ref 代进同一条式 7.34 后的 FAL：ε_ref 的阶跃自动让 f(L_r) 在 L_r=1 处从 0.642 跌到 0.244。公式没换，断崖是「输入的应变」带出来的。

图3：Option 2 如何表达不连续屈服。上图——参考应变 ε_ref 随 L_r 的变化：连续（蓝，纯 Ramberg-Osgood）光滑上升；不连续（红）在 L_r=1 处叠加吕德斯应变 Δε，出现一道竖直阶跃。下图——把 ε_ref 代进同一条式 7.34 后的 FAL：ε_ref 的阶跃自动让 f(L_r) 在 L_r=1 处从 0.642 跌到 0.244。公式没换，断崖是「输入的应变」带出来的。

两条路径殊途同归：图2 的 Option 1（$\lambda$ 跌落）与图3 的 Option 2（$\varepsilon_{ref}$ 阶跃）出自完全不同的公式，却在 $L_r=1$ 跌到相近的低值（约 $0.24\!\sim\!0.25$）——它们描述的是同一段物理平台，自然应当吻合。这也从侧面印证了这套拼接法的正确性。

一个诚实的边界：MechCalc 的 Option 2 走的是「R-O 近似曲线」这条规范许可的替代路径，上面的不连续处理即它的自然延伸（人为拼接估算）。若你手头有实测的真应力-真应变曲线（含真实平台），严格的 Option 2 应直接用那条实测曲线——那是更精确、也更贴合材料实际的做法。

七、用错的代价，与一页速览

把前面的道理浓缩成一句最该记住的话：

对有屈服平台的钢，若误用连续屈服公式，会高估 $L_r\approx1$ 附近的安全裕度——偏于危险。 判断材料属于哪种屈服，见 §7.1.3.6；拿不准时，偏于安全地默认它有平台。

对比项 连续屈服 不连续屈服（有吕德斯平台）
应力-应变曲线 光滑过渡、无平台 上/下屈服点 + 屈服平台
常见材料 奥氏体不锈钢、铝合金、调质高强钢、冷加工钢 退火/正火态低碳钢、C-Mn 钢（尤其轧制板）
屈服强度取法 $R_{p0.2}$ 下屈服强度 $R_{eL}$
Option 1 处理 式 7.26–7.28 式 7.29–7.32，$L_r=1$ 竖直跌落（$\lambda=1+E\Delta\varepsilon/R_{eL}$）
Option 2 处理 纯 R-O 的 $\varepsilon_{ref}$ $L_r\ge1$ 给 $\varepsilon_{ref}$ 叠加 $\Delta\varepsilon$，同式 7.34 自动跌落
拿不准时 — 偏于安全，默认按此假设

用 MechCalc 在线试

理解了原理，动手最直观。在线的 BS 7910 断裂评定计算器里，选 Option 1 或 Option 2 后，可切换材料的屈服类型（连续 / 不连续）：选「不连续」时，只需给出吕德斯应变 $\Delta\varepsilon$（或让程序按式 7.8 估算），就能实时看到失效评定曲线在 $L_r=1$ 处长出那道断崖、评定点的裕度随之收紧。

🧮 在线计算器：《BS 7910 断裂评定计算器》 — 在「评定选项 (FAD)」里选 Option 1 或 2，切换连续/不连续屈服，实时观察 FAL 在 L_r=1 处的跌落如何改变评定结论。

本文图示为 MechCalc 原创示意图，仅作教学说明，不替代 BS 7910 规范原文。工程评定请以 BS 7910:2019+A1:2020 现行版为准；含缺陷结构能否继续服役的最终判定，须由具备资质的工程师结合完整数据与敏感性分析确认。