BS 7910 Annex P 简明教程

断裂评定要同时看两件事——离脆断多近、离塑性失稳多近。Annex M（应力强度因子） 管前者、给失效评定图（FAD）纵轴 $K_r$；本文的参考应力 $\sigma_{ref}$（Annex P）管后者、给横轴 $L_r$。二者一起完成 Clause 7 断裂评定 。

引子：横轴量的是"离塑性失稳多近"

含缺陷结构可能沿两条路失效：一条是裂纹尖端驱动力超过韧性的脆性断裂，另一条是含缺陷截面整体屈服、失去承载力的塑性失稳（塑性垮塌）。前者由 $K_I$ 度量（纵轴），后者就靠参考应力 $\sigma_{ref}$（横轴）。

一、参考应力是什么

参考应力 $\sigma_{ref}$ 是把「含裂纹结构复杂的几何与载荷」归一化后得到的一个等效均匀应力。要点先说清楚：

• 它不是裂纹尖端的真实应力（那是 $K_I$ 的事）；
• 它是一把度量「离塑性失稳多近」的标尺：当 $\sigma_{ref}$ 达到材料屈服强度 $\sigma_Y$ 时，含缺陷的剩余承载截面（即韧带）发生整体屈服，正是塑性失稳的临界点。（BS 7910:2019, §P.2）

二、参考应力法的核心思想

真实的含裂纹结构是弹塑性问题，精确算要做复杂的 $J$ 积分（非线性有限元）。参考应力法（Ainsworth，1984）绕开它：

利用材料的单轴拉伸（屈服）特性与结构的塑性极限载荷，来等效评估含缺陷结构的弹塑性行为。

具体说，用闭式公式直接给出结构的塑性极限载荷 $P_L$（或等价的 $\sigma_{ref}$），再用它做塑性修正——省掉了精密非线性分析。

$\sigma_{ref}$ 与极限载荷 $P_L$ 其实是同一件事的两种语言（应力语言 vs 载荷语言），由承载截面换算联系起来：

$$L_r = \frac{P}{P_L} = \frac{\sigma_{ref}}{\sigma_Y}$$

三、$\sigma_{ref}$ 如何给出横轴 $L_r$

有了 $\sigma_{ref}$，FAD 横轴就是载荷比：

$$L_r = \frac{\sigma_{ref}}{\sigma_Y}$$

• $L_r < 1$：载荷远未到塑性失稳，韧带基本弹性；
• $L_r = 1$：含缺陷截面恰好达到屈服（FAL 曲线的「膝部」附近）；
• $L_r \ge L_{r,max}$：无论脆断与否，结构已因整体塑性流动而失效。（BS 7910:2019, §7.3.2）

注意：只有一次应力进 $L_r$。二次应力（残余、热）自平衡、随塑性松弛，不驱动整体塑性失稳，故不进横轴、只进纵轴 $K_r$。

四、Annex P 的通用计算框架

Annex P 的多数解（平板、管壳类）把 $\sigma_{ref}$ 写成膜应力 $P_m$ 与弯曲应力 $P_b$ 的组合。以平板穿透裂纹为标志式（BS 7910:2019, §P.4）：

$$\sigma_{ref} = \frac{P_b + \sqrt{P_b^2 + 9P_m^2\,(1-\alpha)^2}}{3\,(1-\alpha)^2}$$

后面许多几何的解都由它变形而来。这里 $\alpha$（有些解写作 $a''$）是等效缺陷参数，代表缺陷对承载截面的削弱：

• $\alpha=0$：无缺陷，$\sigma_{ref}=\sigma_Y$（分母 $(1-\alpha)^2=1$，纯膜时退化为 $\sigma_{ref}=P_m$）；
• $\alpha$ 越大：韧带越少、承载能力削弱越厉害，分母 $(1-\alpha)^2$ 迅速变小、$\sigma_{ref}$ 急剧上升。

物理上，分母 $(1-\alpha)^2$ 正是净截面承载能力的非线性削弱：裂纹越深，剩余韧带承担同样载荷所需的等效应力越高。

约束与边界条件也影响 $\sigma_{ref}$：固定夹持（有约束）与铰接（自由转动）、平面应力与平面应变，各给不同的解——一般约束越强、极限载荷越高、$\sigma_{ref}$ 越低。（BS 7910:2019, §P.5）

五、塑性截断 $L_{r,max}$ 与流变应力

FAD 横轴有一条硬截断线：$L_r \ge L_{r,max}$ 时判塑性失稳、与韧性无关（BS 7910:2019, §7.3.2）：

$$L_{r,max} = \frac{\sigma_Y + \sigma_U}{2\sigma_Y}$$

分子 $(\sigma_Y+\sigma_U)/2$ 就是流变应力 $\sigma_f$——材料从广泛屈服到拉伸失效之间的平均应力水平。极限载荷分析里把材料当「弹性-理想塑性」，塑性化后应力取流变应力。$L_{r,max}$ 即流变应力与屈服强度之比，通常在 1.1~1.4 之间（不是 1）。

六、不同几何的解：局部 vs 整体塑性失稳

Annex P 的 P.4–P.14 按几何族给参考应力 / 极限载荷解（平板穿透/表面/埋藏/角、圆筒轴向/环向、球壳、圆棒/螺栓、焊接失配等），覆盖承压厚壁筒内压、圆筒轴向裂纹的 Folias 鼓胀等。用法就是「对号入座」：定缺陷几何 → 找对应小节 → 核对载荷类型与适用范围 → 代公式。

一个关键区分：局部塑性失稳（韧带屈服，local）vs 整体塑性失稳（净截面屈服，global）：

• 局部塑性失稳：缺陷处剩余韧带 $(B-a)$ 先屈服（局部极限载荷）；取 local 解，给更高的 $\sigma_{ref}$（偏于安全）。
• 整体塑性失稳：整个含缺陷截面平均应力达屈服（总体极限载荷、净截面屈服）；取 global 解，更接近实际。

表面/埋藏缺陷两种解都给，按板宽 $W$ 与缺陷特征尺寸 $2(c+B)$ 的大小关系判断哪种模式先到：宽板小缺陷偏局部、缺陷大或板窄偏整体。穿透型缺陷没有剩余韧带，必为整体塑性失稳。（BS 7910:2019, §P.3 / §P.5）

七、计算步骤

从「几何 + 载荷 + 裂纹尺寸 + 材料强度」到「算出 $\sigma_{ref}$、$L_r$、$L_{r,max}$」（BS 7910:2019, §P 与 §7.2）：

1. 准备输入：几何（$W$、$B$、筒径等）、缺陷（$a$、$c$、位置）、一次载荷（拉力 / 弯矩 / 内压）、材料强度 $\sigma_Y$、$\sigma_U$。（必做）
2. 判失稳模式：按板宽判据定局部还是整体塑性失稳，决定取哪套解。（必做）
3. 选 Annex P 解：按缺陷几何 / 位置 / 载荷在 P.4–P.14 对号入座。（必做）
4. 换算膜 / 弯应力：把实际载荷折成 $P_m=F/(WB)$、$P_b=6M^b/(WB^2)$ 等。（按需）
5. 代式算 $\sigma_{ref}$：代入 $P_m$、$P_b$ 与缺陷参数 $\alpha$。（必做）
6. 算载荷比 $L_r=\sigma_{ref}/\sigma_Y$。（必做）
7. 算塑性截断 $L_{r,max}=(\sigma_Y+\sigma_U)/(2\sigma_Y)$；若 $L_r\ge L_{r,max}$ 直接判不可接受。（必做）
8. 进 FAD：横坐标 $L_r$ 配 Annex M 的纵坐标 $K_r$ 绘评定点、判定。（必做）

八、常见误区

• 把 $\sigma_{ref}$ 当裂尖应力：$\sigma_{ref}$ 是含缺陷截面的等效均匀应力、度量塑性失稳；裂尖真实应力由 $K_I$ 描述。两者分属横轴、纵轴。
• 以为 $\sigma_{ref}$ 越大越安全：恰相反——$\sigma_{ref}$ 越大 $\Rightarrow L_r$ 越大 $\Rightarrow$ 越接近失稳、越不安全。local 解 $\sigma_{ref}$ 更大、更保守。
• 二次应力算进 $L_r$：只有一次应力进 $L_r$；残余 / 热应力只进 $K_r$。
• 以为 $L_{r,max}=1$：$L_{r,max}=(\sigma_Y+\sigma_U)/(2\sigma_Y)>1$（约 1.1~1.4）；$L_r=1$ 只是膝部、不是截断。
• local / global 不分：表面/埋藏缺陷两种解都要看，按板宽判据取先到者；选错会偏不保守。

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用 MechCalc 在线计算 $\sigma_{ref}$

理解了原理，动手最快。用在线的 BS 7910 Annex P 计算器：选缺陷几何与解、填裂纹尺寸与一次应力，它按 Annex P 算出 $\sigma_{ref}$、$L_r$ 与塑性截断 $L_{r,max}$，并给出白盒推导；覆盖 33 种几何（平板、薄/厚壁圆筒、球壳、圆棒/螺栓）。

🧮 在线计算器：BS 7910 Annex P — 参考应力计算器 — 选几何解、填 a/c/B/W 与 Pm/Pb，即可算出 σ_ref、L_r 与 L_r,max。

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本文图示为 MechCalc 原创示意图，仅作教学说明，不替代 BS 7910 规范原文。工程评定请以 BS 7910:2019+A1:2020 现行版为准。