🧮 在线计算器：《VDI 2230 螺栓连接计算》 — 完整 14 步计算链（R0～R13），含六项强度校核。
被连接件柔度 δP 与 Rötscher 锥体模型
上一篇解决了螺栓有多"软"（$\delta_S$），本篇回答被连接件有多"软"（$\delta_P$）——这是力比 $\Phi$ 计算的另一半。
1. 为什么 δP 比 δS 难算？
螺栓柔度 $\delta_S$ 可以简单地拆成串联圆柱段相加。但被连接件的情况完全不同——标准原文指出 (VDI 2230:2015, §5.1.2, S.45)：
“The calculation of the elastic resilience $\delta_P$ of the parts preloaded by the bolt […] proves to be difficult on account of the three-dimensional stress and deformation state which forms when preload is applied.”
预紧力从螺栓头下方的承压面向外扩散，受压区域从承压面向接合面逐渐变宽，形状近似旋转抛物面 (Rotationsparaboloid) (VDI 2230:2015, §5.1.2, S.45, [7; 9; 10])。
VDI 2230 的解决方案是：用一个等效变形锥体 (Ersatzverformungskegel) 来替代真实的抛物面压缩区域，使其具有相同的弹性柔度——这就是所谓的 Rötscher 锥体模型。
2. 核心公式：δP 的计算
被连接件柔度的通用积分形式为 (VDI 2230:2015, §5.1.2, Eq. 38)：
$$ \delta_P = \int_{y=0}^{y=l_K} \frac{\mathrm{d}y}{E(y) \cdot A(y)} \tag{38} $$
对锥体进行积分后，标准给出了封闭解析解。
2.1 情况一：$D_A \geq D_{A,Gr}$（锥体未触及外壁）
锥体可以完全展开，不受外壁限制 (VDI 2230:2015, §5.1.2.1, Eq. 40)：
$$ \delta_P = \frac{2 \ln \left[ \frac{(d_W + d_h)(d_W + w \cdot l_K \cdot \tan\varphi - d_h)}{(d_W - d_h)(d_W + w \cdot l_K \cdot \tan\varphi + d_h)} \right]}{w \cdot E_P \cdot \pi \cdot d_h \cdot \tan\varphi} \tag{40} $$
2.2 情况二：$d_W < D_A < D_{A,Gr}$（锥体 + 套筒组合）
锥体展开到外壁后，剩余部分变为等壁厚的空心套筒 (VDI 2230:2015, §5.1.2.1, Eq. 41)：
$$ \delta_P = \frac{\frac{2}{w \cdot d_h \cdot \tan\varphi} \ln\left[\frac{(d_W + d_h)(D_A - d_h)}{(d_W - d_h)(D_A + d_h)}\right] + \frac{4}{D_A^2 - d_h^2}\left[l_K - \frac{D_A - d_W}{w \cdot \tan\varphi}\right]}{E_P \cdot \pi} \tag{41} $$
2.3 判断边界：限界直径 $D_{A,Gr}$
标准通过限界直径来判断使用哪个公式 (VDI 2230:2015, §5.1.2, Eq. 39)：
$$ D_{A,Gr} = d_W + w \cdot l_K \cdot \tan\varphi \tag{39} $$
其中连接系数：
| 连接类型 | $w$ | 来源 |
|---|---|---|
| ESV（盲孔） | 2 | §5.1.2 |
| DSV（通孔） | 1 | §5.1.2 |
- $D_A \geq D_{A,Gr}$：用 Eq. 40（纯锥体）
- $d_W < D_A < D_{A,Gr}$：用 Eq. 41（锥体 + 套筒）
- $d_W \geq D_A$：仅套筒（空心圆柱）
3. 锥角 φ —— 不是常数！
这是 VDI 2230 柔度模型最精妙之处。锥角 $\varphi$ 并非固定值，而是由被连接件几何尺寸决定的变量 (VDI 2230:2015, §5.1.2.1, Eq. 42-45)：
盲孔连接 ESV / TTJ：
$$ \tan\varphi_E = 0.348 + 0.013 \ln\beta_L + 0.193 \ln y \tag{42} $$
通孔连接 DSV / TBJ：
$$ \tan\varphi_D = 0.362 + 0.032 \ln(\beta_L / 2) + 0.153 \ln y \tag{43} $$
其中：
$$ \beta_L = l_K / d_W \tag{44} $$
$$ y = D_A’ / d_W \tag{45} $$
标准指出，作为近似，在以下尺寸比范围内可取 $\tan\varphi = 0.6$ (VDI 2230:2015, §5.1.2.1, S.51)：
- ESV：$\beta_L = 4 \dots 6$，$y = 2.5 \dots 4$
- DSV：$\beta_L = 0.5 \dots 4$，$y = 4 \dots 6$
“In this case, the maximum error when calculating the plate resilience is about 5%.” (VDI 2230:2015, §5.1.2.1, S.51)
4. 多层板的处理
当被连接件由不同材料（不同 $E_P$）的多层板组成时，标准要求将锥体和套筒进一步拆分为与各层对应的子段 (VDI 2230:2015, §5.1.2.1, Eq. 52-53)：
各层锥体子段的承压直径递推 (Eq. 52)：
$$ d_{W,i} = d_W + 2 \cdot \tan\varphi \cdot \sum_{i=1}^{j} l_{i-1} \tag{52} $$
总柔度为各子段之和 (Eq. 53)：
$$ \delta_P = \sum_{i=1}^{j} \delta_{Pi}^V + \sum_{i=j+1}^{m} \delta_{Pi}^H \tag{53} $$
5. DSV vs ESV 在 δP 计算中的差异汇总
| 参数 | DSV（通孔） | ESV（盲孔） | 来源 |
|---|---|---|---|
| 连接系数 $w$ | 1 | 2 | §5.1.2, Eq. 39 |
| 锥角公式 | Eq. 43 | Eq. 42 | §5.1.2.1 |
| 变形锥体数量 | 2 个（头部+螺母各一个） | 1 个（头部一个） | Bild 8, 9 |
| 螺母区域 $E_M$ | $E_S$（螺栓材料） | $E_{BI}$（被连接件材料） | §5.1.1.1 |
ESV 的 $w = 2$ 意味着只有一个完整锥体从螺栓头延伸到接合面，而 DSV 的 $w = 1$ 表示头部和螺母各贡献一个锥体，在夹紧长度中部相遇。
6. 数值敏感性提示
标准公式 Eq. 40 中的对数项包含 $(d_W - d_h)$ 在分母中。当 $d_W \approx d_h$（承压面外径接近通孔直径）时，这个差值趋近于零，可能导致数值不稳定。工程实践中这意味着：承压面太小时，被连接件柔度急剧增大——这正是物理上的预期行为（压缩区域退化为极薄的环）。
数据依据与精度声明
本文所有公式均来自 VDI 2230 Blatt 1:2015-11, §5.1.2。锥角回归公式 (Eq. 42/43) 的精度约 ±5% (§5.1.2.1)。
免责声明：本文仅供工程教学参考之用。最终的工程安全性验证责任由使用者自行承担。
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